Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.1. BEISPIELE EFFIZIENTER ALGORITHMEN 135
derholt wird, benötigt sie
17. An
18. An
19. An
20.–25. 3Ak
3A(n + k) Zeiteinheiten
Die Zeitkomplexität des Algorithmus ist also
(6A + 1)n + 4Ak Zeiteinheiten.
Bemerkung 1. Die Konstante A hängt von der konkreten Implementierung ab.
Um von solchen Details in unserer Analyse absehen zu können, führen wir, für jede
Funktion t(n), die Klasse
O(t(n)) (gelesen: ” O von t(n)“)
ein, die aus allen Funktionen f(n) besteht, die nicht schneller als t(n) wachsen (für
große Werte von n):
Definition. O(t(n)) bezeichnet die Klasse aller Funktionen f(n), für die es Konstanten
n0 und C gibt, so dass
f(n) ≤ Ct(n) für alle n ≥ n0.
Beispiel 2. 1. Der Algorithmus für topologische Sortierung hat eine lineare
Zeitkomplexität
O(n + k)
Es gilt (6A + 1)n + 4Ak ≤ C(n + k), wobei C = 6A + 1, für alle n ≥ 0.
2. Jedes quadratische Polynom gehört zur Klasse
In der Tat, für
O(n 2 ).
f(n) = a + bn + cn 2 =
a b
+ + c n
n2 n 2
gilt: falls n ≥ max{a, b}, ist f(n)leq(2 + c)n 2 . Es genügt also, n0 = max{a, b}
und C = 2 + c zu setzen.
3. Allgemeiner enthält die Klasse
alle Polynome des Grades k.
O(n k )
4. Die exponentielle Funktion 2 n gehört nicht zu der Klasse O(n k ), denn
lim
n→∞
2n = ∞.
nk Bemerkung 2. Falls Graphen als Adjazenzmatrizen implementiert werden, benötigt
jeder Algorithmus für das topologische Sortieren mindestens
n 2
2 Schritte