Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

132 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
zifikation realisierbar ist. Trotz einigen Wochen intensiven Versuchens ist es Ihnen
nicht gelungen, das Programm zu schreiben. Was jetzt? Wenn Sie die Produktspezifikation
analysieren und feststellen, dass sie sehr allgemein formuliert ist, liegt es
vielleicht an der Allgemeinheit und nicht an Ihrer Unfähigkeit. Es wäre z.B. toll,
wenn Sie zeigen können, dass das von Ihnen verlangte Programm eigentlich auch
das Halteproblem lösen könnte – dann können Sie Ihrem Chef beweisen, dass er
unlösbare Aufgaben erteilt. Das ist aber leider nicht sehr wahrscheinlich, denn das
Halteproblem ist doch sehr allgemein. Also versuchen Sie zu zeigen, dass Ihr Programm
eines von den hunderten N P-vollständiger Problemen lösen würde – das
zeigt nicht, dass die Aufgabe prinzipiell nicht effektiv implementierbar wäre, aber
dass es schon einer Schar ausgezeichneter Programmierer nicht gelungen ist, einen
effizienten Algorithmus zu entwickeln.
6.1 Beispiele effizienter Algorithmen
In diesem Abschnitt illustrieren wir eine genaue Analyse der Effizienz von Algorithmen
an einigen wichtigen Beispielen von Graphen-Algorithmen. Ein gerichteter
Graph G = (V, E), wobei V die Menge aller (n) Knoten und E die Menge aller
Kanten (d.h. geordneten Paaren von Knoten) ist, wird gewöhnlich durch seine
n × n-Adjazenzmatrix
repräsentiert, wobei
aij =
(aij)
1 falls (i, j) eine Kante in E ist
0 sonst
Oder durch Adjazenzlisten, d.h., durch n lineare Listen, wobei die i-te Liste alle
Knoten j mit (i, j) ∈ E enthält und die heads (Listenköpfe) in einem Array
gespeichert werden. Beispiel: für den gerichteten Graphen
1
5
2
3
4
haben wir die Adjazenzmatrix der Gesamtgröße m = n 2
⎛
0
⎜
⎜0
⎜
⎜0
⎝0
1 0
1 1
0 0
0 1
⎞
0 0
1 0 ⎟
0 0 ⎟
0 1⎠
1 0 0 0 0
und die Adjazenzlisten der Gesamtgröße m = n + k