Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

174 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
6.10 Komplexität von Optimierungsproblemen
Viele Probleme sind weder als Entscheidungsprobleme, noch als Berechnungsprobleme
zu verstehen, sondern als Probleme, die für einen maximalen (oder minimalen)
Wert eines Parameters eine Konstruktion verlangen. Solche Maximierungs- oder
Minimierungsprobleme heißen Optimierungsprobleme.
Beispiel 1 (MINIMALE FÄRBUNG). Eingabe: Ungerichteter Graph G
Ausgabe: Eine Färbung von G mit minimaler Zahl von Farben.
Gibt es eine effiziente Lösung dieses Problems? Bestimmt nicht (falls P = N P),
denn jeder Algorithmus für MINIMALE FÄRBUNG kann natürlich 3-FÄRBUNG
lösen. Für jedes Minimierungsproblem M haben wir das zugrunde liegende Entscheidungsproblem,
dessen Eingabe ein Paar (x, y) ist, wobei x die Eingabe von
M und y eine Zahl ist. Die Entscheidung lautet: hat P eine Lösung der Eingabe
x mit einem Parameter ≤ y? Es ist klar, dass ein Minimierungsproblem, das eine
effiziente Lösung hat, die Eigenschaft hat, dass das zugrunde liegende Entscheidungsproblem
zu P gehört.
Analoges gilt für Maximierungsprobleme.
Beispiel 2 (MAXIMALES MATCHING). Eingabe: Ungerichteter Graph G Ausgabe:
Eine maximale Menge von Kanten, die voneinander disjunkt sind.
Dies ist ein Optimierungsproblem mit vielen praktischen Anwendungen. Der Name
stammt von der Anwendung, wobei eine Gruppe von Männern und Frauen die
Knotenmenge von G formen und eine Kante einen Mann x mit einer Frau y genau
dann verbindet, wenn sie ein potentielles Paar formen. Die Aufgabe ist dann, die
größte Menge von aktuellen Paaren zu bilden, für die kein(e) Teilnehmer(in) mehrmals
auftritt. Dieser Graph ist offensichtlich 2-färbbar; oft wird das MAXIMALE
MATCHING Problem nur für 2-färbbare Graphen untersucht.
Es gibt einen effizienten Algorithmus, der MAXIMALES MATCHING löst. Die
Grundidee ist, dass jedes Matching M durch einen erweiternden Weg verbessert
werden kann. Für das gegebene Matching M heißt eine Kante des Graphen G frei,
falls sie nicht in M liegt, und ein Knoten heißt frei, falls er kein Endknoten einer
Kante in M ist.
Definition. Für ein Matching M im Graphen G heißt ein Weg in G erweiternd,
falls seine Endknoten frei sind und seine Kanten abwechselnd frei und unfrei sind.
Beispiel 3. Im Graphen G
hat das Matching M:
x1
x2
x3
x4
x5
•
• y1
•
•
•
• y2
• y3
• y4
•
• y5