Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

5.3. WEITERE UNENTSCHEIDBARE PROBLEME 125
ist nicht rekursiv.
Wir merken erst an, dass es zu jeder Turingmaschine M eine Turingmaschine M
gibt, die sich von M nur darin unterscheidet, dass finale und nichtfinale Zustände
ausgetauscht werden. (Genauer: wenn wir in M die finalen und nichtfinalen Zustände
austauschen, erhalten wir eine TM mit mehreren finalen Zuständen, und M ist eine
TM, die M simuliert, siehe Abschnitt 3.2.1) Der Übergang von M zu M lässt
sich offensichtlich durch einen (kleinen) Algorithmus implementieren. Das bedeutet,
dass es eine Turingmaschine ˆ M gibt, die auf die Eingabe c(M) die Ausgabe c(M)
berechnet. Es gilt
w ∈ L(M) genau dann, wenn M auf die Eingabe w hält und nicht akzeptiert.
Wir beweisen jetzt, dass die Annahme, dass Lacc rekursiv ist, zu einem Widerspruch
führt: wenn Lacc rekursiv wäre, würde folgen, dass Lhalt rekursiv ist. In der Tat:
falls Lacc von einer Turingmaschine Macc akzeptiert wird, die auf jede Eingabe hält,
können wir die folgende Turingmaschine Mhalt konstruieren, die Lhalt akzeptiert und
auf jede Eingabe hält:
u
EINGABE
Hat u die Form
u = c(M)w für
eine TM M?
JA
TURINGMASCHINE Mhalt
Akzeptiert
Macc Eingabe
c(M)w?
NEIN
c(M) wird
von ˆM
berechnet
u nicht akzeptiert
NEIN
Akzeptiert
c(M)w?
Macc Eingabe
NEIN
JA
JA
u nicht akzeptiert u akzeptiert u akzeptiert
Diese TM akzeptiert genau die Eingaben u = c(M)w, für die gilt, dass
• entweder M akzeptiert w (d.h., Macc akzeptiert c(M)w), oder
• M akzeptiert w (d.h., Macc akzeptiert c(M)w).
Das heißt, genau die Eingaben c(M)w, für die M auf die Eingabe w hält. Kürzer:
L(Mhalt) = Lhalt. Darüber hinaus hält Mhalt auf jede Eingabe – ein Widerspruch
zu Satz 2 aus Kapitel 5.2.
5.3.2 Akzeptanz des leeren Wortes
Eine noch einfachere Frage ist, ob eine TM die leere Eingabe akzeptiert. Auch diese
Frage ist aber unentscheidbar, d.h., die Sprache
ist nicht rekursiv.
Lε = {c(M); M ist eine TM die ε akzeptiert}
Wir merken erst an, dass es für jede Turingmaschine M und jedes Wort w eine
Turingmaschine Mw gibt, die das leere Wort genauso berechnet wie M das Wort
w. Mw schreibt erst das Wort w = s1 . . . sn von links nach rechts auf ihr Band
(mit Hilfe von n neuen Zuständen q1, . . . , qn, wobei qn der Initialzustand von Mw
ist) und dann geht sie in den Initialzustand q0 der Maschine M über und beginnt