Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

96 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
falls k die größte Zahl ist, die eine TM mit n Zuständen auf die leere Eingabe
schreiben kann. D.h., die TM hält auf der leeren Eingabe mit | k auf dem Band. Wir
können β(n) einfach bestimmen, wenn wir alle TM mit n Zuständen durchgehen
(und die, die auf die leere Eingabe nicht halten, ausschließen). Die TM mit der
einzigen Übergangsregel (q0, #) → (q0, |) schreibt | auf die leere Eingabe. Daraus
folgt
β(1) ≥ 1.
Aber jede Maschine mit nur einem Zustand, die mehr als einen Strich auf die leere
Eingabe schreibt, hält nie. Also gilt β(1) = 1. Bei zwei Zuständen darf δ nur auf
drei Elementen der vierelementigen Menge Q×Σ definiert sein, damit die Maschine
hält. Daraus folgt sofort
β(2) = 2.
Im allgemeinen gilt
(∗) β(n + 2) > β(n) für jedes n.
In der Tat, falls β(n) = k, d.h., falls eine Turingmaschine M mit n Zuständen | k
schreibt, konstruieren wir eine Turingmaschine, M ′ , die n + 2 Zustände hat und
| k+1 schreibt – woraus β(n+2) ≥ k +1 > β(n) folgt. Wir fügen zwei neue Zustände
q ′ und q ′′ zu den Zuständen von M hinzu. Hält M im Zustand q auf einem Feld |,
so ergänzen wir M um drei neue Übergangsregeln:
(q, |) → (q ′ , L)
(q ′ , |) → (q ′ , L)
(q ′ , #) → (q ′′ , |).
Hält dagegen M im Zustand q auf einem Feld #, so kann sich dieses Feld wegen
der Maximalität von β(n) nur direkt neben dem Ergebnis | k von M befinden. Wir
können M nun um die Übergangsregel (q, #) → (q ′′ , |) ergänzen. In jedem Fall hält
die Maschine M ′ im Zustand q ′′ , nachdem sie | k+1 geschrieben hat.
Satz 1. Für jede berechenbare Funktion f(n) gibt es eine Konstante r mit der
Eigenschaft, dass
β(n + r) ≥ f(n) für alle n.
Beweis. f(n) wird von einer Turingmaschine M berechnet. Sei r die Zahl aller
Zustände von M. Wir konstruieren für jede Zahl n eine Turingmaschine Mn, die
n + r Zustände hat und f(n) Striche auf die leere Eingabe schreibt – damit ist
β(n + r) ≥ f(n) bewiesen. Zu den Zuständen von M werden n neue Zustände q 0
(initial), q 1, . . . , q n−1 hinzugefügt, sodass Mn auf die leere Eingabe n-mal einen |
schreibt und sich dabei nach links bewegt:
(q i, #) → (q i, |) für i = 0, . . .,n − 1
(q i, |) → (q i+1, L) für i = 0, . . .,n − 2
(q n−1 , |) → (q0, |)
Der letzte Übergang bedeutet, dass von jetzt an die Maschine M (mit der Eingabe
| n ) simuliert wird – sie schreibt also | f(n) und hält.
Korollar 1. Die busy-beaver-Funktion β(n) ist nicht Turing-berechenbar.
Falls nämlich β(n) berechenbar wäre, müsste auch β(2n) berechenbar sein (wir
hätten eine TM, die erst die Zahl aller | ′ e der Eingabe verdoppelt, siehe Beispiel 1
und dann die TM für β(n) simuliert). Dann würde es eine Konstante r geben mit
β(n + r) ≥ β(2n) für alle n.
Speziell ergibt n = r + 2
β(2r + 2) ≥ β(2r + 4),
ein Widerspruch zu (∗).
Bemerkung 1. Obwohl β(1) = 1, β(2) = 2 und β(3) = 3, gilt β(10) > 4000 (es
existiert eine DTM mit 10 Zuständen, die 4098 schreibt und hält. Dazu benötigt
die TM über 200 Mio. Berechnungsschritte).