Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

5.1. UNIVERSELLE TURINGMASCHINE 121
Dann wird M in rekursiven Schritten wie folgt simuliert (so dass das Band von M
identisch mit dem Band 1 von Mu ist und der Zustand von M gleich qi ist, wobei
0 i+1 auf Band 3 von Mu steht):
Simulation von M: Der Kopf von Band 1 liest s = #, 0 oder 1, also ein Symbol,
das den Code 10 p hat, wobei p = 3 (#), p = 4 (0) oder p = 5 (1) gilt.
Jetzt beginnt der Kopf auf Band 2 eine systematische Suche nach der Kombination
10 i+1 10 p ,
wobei i + 1 die Zahl der 0’en auf Band 3 ist. Falls die Kombination 10 i+1 10 p nicht
gefunden wurde, hat die Maschine M keine Übergangsregel (qi, s) →?, deshalb hält
M. Also hält auch Mu (wenn sie die rechte Gruppe 111 auf Band 2 erreicht hat,
ohne die gesuchte Kombination zu finden). Mu akzeptiert genau dann, wenn Band
3 den Inhalt 00 hat, d.h., genau dann, wenn M im Finalzustand q1 gehalten hat.
Falls die Kombination 10 i+1 10 p gefunden wurde, liest der Kopf auf Band 2 weiter
bis zur nächsten Gruppe 11. Wir haben jetzt das Wort
10 i+1 10 p 10 j+1 10 r 11 . . .
auf Band 2 und das bedeutet, dass eine Übergangsregel von M die Form
(qi, s) → (qj, s ′ ) s ′ hat den Code 10 r (r = 1, . . .,5)
hat. Die Maschine Mu ändert den Bandinhalt von Band 3 zu 0 j+1 und bewegt den
Kopf auf Band 1 nach links oder rechts, falls r = 1 oder 2 ist, oder Mu überschreibt
s mit
#(falls r = 3), 0 (r = 4) oder 1 (r = 5).
Jetzt ist Mu für den nächsten Simulationsschritt vorbereitet.
Bemerkung 3. 1. Die obige Codierung kann auch auf nichtdeterministische Turingmaschinen
mit dem Bandalphabet {0, 1} angewendet werden.
2. Es ist einfach zu entscheiden, ob ein binäres Wort v der Code einer (deterministischen
oder nichtdeterministischen) TM ist. Die Codierungen sind nämlich
alle von der Form
(1) v = 1110 n 1w11w21 . . .1wt111,
wobei w1, . . . , wt verschiedene Wörter der Form
(2) 10 i+1 10 p 10 j+1 10 r mit i, j = 0, . . . , n − 1, p = 3, 4, 5 und r = 1, 2, 3, 4, 5
sind. Umgekehrt ist jedes Wort v, das (1) und (2) erfüllt, der Code einer TM.
Mit anderen Worten ist die Sprache aller Codierungen von allen nichtdeterministischen
TM rekursiv. Auch die Sprache aller Codierungen aller deterministischen TM
ist rekursiv: hier muss der Algorithmus nur noch für alle Paare k, k ′ = 1, . . .,t von
Indizes mit
wk = 10 i+1 10 p 10 j+1 10 r
und
überprüfen, ob j = j ′ und r = r ′ .
wk ′ = 10i + 110p 10 j′ +1 10 r ′