Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

108 KAPITEL 4. CHURCHSCHE THESE
Beweis. Wir wollen zeigen, dass für jede Grammatik G die Sprache L(G) von einer
TM akzeptiert werden kann. Wir benutzen eine nichtdeterministische 2-Band-TM,
die alle Produktionen von G in einem zusätzlichen Gedächtnis hat. Band 1 ist ein
read-only Eingabeband. Auf Band 2 schreibt die TM zu Beginn das Startsymbol S.
In jedem Berechnungsschritt zerlegt die TM nichtdeterministisch das Wort w auf
Band 2 in drei Wörter:
w = upv u, p, v ∈ (Σ ∪ V ) ∗ mit p = ε.
Zum Beispiel ist am Anfang die einzige mögliche Zerlegung u = ε, p = S und
v = ε. Jetzt wählt die TM nichtdeterministisch eine Produktion von G von der Form
p → q (falls keine solche Produktion existiert, hält die TM in einem nichtfinalen
Zustand). Dann schreibt die TM das Wort w ′ = uqv auf Band 2 und vergleicht
Band 1 mit Band 2. Falls die Inhalte gleich sind, hält die TM und akzeptiert. Falls
sie nicht gleich sind, wird der neue Berechnungsschritt (Zerlegung des Wortes w ′ in
drei Wörter usw.) gestartet.
Es ist klar, dass die Eingabe auf Band 1, falls sie von S ableitbar ist, nach endlich
vielen Berechnungsschritten (die der Ableitung der Eingabe aus S entsprechen)
akzeptiert wird. Falls umgekehrt die Eingabe nicht zu L(G) gehört, ist jede mögliche
Berechnung entweder unendlich oder hält und akzeptiert nicht.
4.4 Chomsky-Hierarchie
In den 50er Jahren hat der berühmte Linguist Noah Chomsky formale Grammatiken
eingeführt und spezielle Typen untersucht, von denen wir in diesem Skript schon
einige kennengelernt haben:
Grammatiken vom Typ 3 sind genau die regulären Grammatiken, die wir in Kapitel
2.4 eingeführt haben. Also die, die nur Produktionen der Form
A → b1 . . . bn oder A → b1 . . .bnB
(A, B sind Variablen und b1, . . .,bn terminale Symbole) haben dürfen. Wie wir aus
2.4 wissen, erzeugen die regulären Grammatiken genau die regulären Sprachen.
Grammatiken vom Typ 2 sind genau die kontextfreien Grammatiken aus Kapitel 2.
Hier haben die Produktionen die Form
A → a1 . . .an
(A ist eine Variable, a1, . . . , an sind terminale Symbole oder Variablen). Die entsprechenden
Sprachen sind die kontextfreien Sprachen.
Grammatiken vom Typ 1 werden auch kontextsensitive Grammatiken genannt. Wir
werden sie jetzt einführen und untersuchen. Die Produktionen haben hier die Eigenschaft,
dass die Länge der linken Seite der Produktionen kleiner gleich der Länge
der rechten Seite ist.
Grammatiken vom Typ 0 heißen auch uneingeschränkte Grammatiken (weil es keine
Einschränkung für die Produktionen gibt) oder einfach Grammatiken. Diese
haben wir in Abschnitt 4.3 eingeführt. Sie entsprechen genau den rekursiv-aufzählbaren
Sprachen.
Definition. Eine Grammatik heißt kontextsensitiv oder Typ-1-Grammatik, falls
in jeder Produktion
α → β
die Länge von α kleiner gleich der Länge von β ist. Eine Sprache heißt kontextsensitiv,
falls sie von einer kontextsensitiven Grammatik erzeugt werden kann. Daraus
folgt, dass eine kontextsensitive Sprache nie ε enthält. (Einige Autoren erlauben
deswegen auch die Regel S → ε in kontextfreien Grammatiken. Wir aber nicht!)