Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.8. WEITERE N P-VOLLSTÄNDIGE PROBLEME 171
Für die gegebene Belegung der Variablen mit φ = true färben wir wie folgt:
1. S, B und W wie angedeutet (schwarz, blau, weiß),
2. Knoten des Typs 2 sind weiß, falls ihr Wert true ist, und schwarz, falls der
Wert false ist,
3. in jedem der Hilfsgraphen ist mindestens einer der Knoten a, b, c weiß gefärbt,
deshalb können wir eine Färbung finden, die auch d weiß färbt finden, siehe
(2) oben.
Umgekehrt beweisen wir:
Gφ 3-färbbar =⇒ φ erfüllbar.
Wir können, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, annehmen, dass die gegebene
Färbung die Knoten des Typs 1 wie angedeutet färbt. Wir setzen dann
x = true ⇐⇒ der x-Knoten des Typs 2 ist weiß.
Wir beweisen, dass φ = true, d.h., dass in jeder Klausel α ∨ β ∨ γ von φ eines
der Literale α, β, γ true ist. Da kein Knoten des Typs 2 blau gefärbt werden kann
(wegen der Kante zu B), sind sie schwarz oder weiß. Aufgrund der Eigenschaft (1)
des Hilfsgraphen können nicht α, β, γ gleichzeitig schwarz sein – also ist α, β oder
γ true.
Es ist klar, dass für eine Formel φ der Größe
n = Anzahl aller Variablen + Anzahl aller Klauseln
die Konstruktion des Graphen Gφ in linearer Zeit O(n) durchführbar ist.
Beispiel 3. k-FÄRBUNG ist NP-vollständig für jedes k ≥ 3. Wir können z.B. 3-
FÄRBUNG auf 4-FÄRBUNG in polynomialer Zeit wie folgt reduzieren: ein Graph
G ist genau dann 3-färbbar, wenn der folgende Graph
4-färbbar ist.
• Neuer Knoten
•
•
•
•
• • G
Bemerkung 1. Ein Graph ist planar, falls er so in der Ebene gezeichnet werden
kann, dass die Kanten sich nicht überkreuzen. Das k-Färbungsproblem für planare
Graphen ist
1. trivial für k ≥ 4, denn jeder planare Graph ist 4-färbbar, aber trotzdem
2. N P-vollständig für k = 3 (vergl. Bemerkung 4 in Abschnitt 6.5).
Wir erinnern daran, dass ein Hamiltonscher Kreis in einem ungerichteten Graphen
ein Kreis ist, der jeden Knoten genau einmal besucht. Das Problem HAMILTON-
SCHER KREIS hat als Eingabe einen Graphen G und wir sollen entscheiden, ob G
einen Hamiltonschen Kreis hat.