Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

144 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
(Wörter über Γ) überführt, so dass die Lösungen von L genau den Lösungen von
L0 entsprechen und f selbst effizient berechenbar ist:
Definition. Wir sagen, dass eine Sprache L ⊆ Σ∗ in polynomialer Zeit auf eine
Sprache L0 ⊆ Γ∗ reduzierbar ist, falls es eine Funktion f : Σ∗ → Γ∗ der Klasse
FP mit
x ∈ L genau dann, wenn f(x) ∈ L0 (für alle x ∈ Σ ∗ )
gibt.
Aufpassen! Die Voraussetzung, dass die Reduktion f zur Klasse FP gehört, ist der
Kern dieser Definition! Es ist nämlich trivial, eine beliebige Funktion f zu definieren,
für die gilt x ∈ L genau dann, wenn f(x) ∈ L0: man wähle zwei Wörter w ∈ L0
und w ′ /∈ L0 und setze
f(x) =
w falls x ∈ L
w ′ falls x /∈ L
Beispiel 3 (KANTEN-2-FÄRBBARKEIT). Wir wollen für einen gegebenen ungerichteten
Graphen G wissen, ob sich seine Kanten derart blau und rot färben lassen,
so dass Kanten mit gemeinsamen Knoten nie gleichfarbig sind. [Achtung: Wir haben
gerade ein Entscheidungproblem formuliert; das zugehörige Berechnugsproblem
besteht darin, eine legitime Kantenfärbung zu konstruieren, oder festzustellen, daß
keine existiert. Insofern können wir das Entscheidungprobem auf dem Umweg über
das Berechnungsproblem lösen.] Dieses Entscheidungsproblem können wir wie folgt
auf das Problem von 2-Färbbarkeit (von Knoten) reduzieren: für jeden ungerichteten
Graphen G = (V, E) bezeichnen wir mit ˆ G = (E, H) den dualen Graphen,
dessen Knoten die Kanten von G sind, und zwei Kanten von G formen in ˆ G eine
Kante (also gehören sie zu H) genau dann, wenn sie in G benachbart sind. Beispiel:
• 3
1 •
• 2
•
5
G
• 4
•
(2, 3)
(1, 3) •
• (1, 2)
•
(2, 4)
Es gilt: jede 2-Färbung von ˆ G ergibt eine Kanten-2-Färbung von G und umgekehrt.
Folglich ist ˆ G genau dann 2-färbbar, wenn dies für G gilt.
Ist diese Reduktion in polynomialer Zeit durchführbar? Das heißt, gehört die Funktion
f : {0, 1} ∗ → {0, 1} ∗ , die jedem Code wG eines Graphen G den Code f(wG) = w ˆ G
des dualen Graphen zuordnet, zu FP? Falls die Graphen als Adjazenzmatrizen implementiert
werden, wird zu einer Matrix M die folgende Matrix f(M) zugeordnet:
die Zeilen und Spalten von f(M) sind mit allen Paaren (i, j) markiert, wobei i ≤ j
und Mij = 1. Und f(M) hat eine 1 in der Position von Zeile (i, j) und Spalte (i ′ , j ′ )
genau dann, wenn i = i ′ oder j = j ′ . Das können wir in linearer Zeit O(m), wobei
m die Größe der Eingabe ist (m = n 2 für Graphen mit n Knoten), berechnen.
Satz 1. Falls eine Sprache L0 zur Klasse P gehört, gehören zu P auch alle Sprachen,
die sich in polynomialer Zeit auf L0 reduzieren lassen.
Beweis. Wir haben eine Turingmaschine M0, die L0 ⊆ Γ ∗ akzeptiert, und eine
polynomiale Zeitkomplexität p(n) hat. Für jede Sprache L ⊆ Σ ∗ und jede Funktion
f : Σ ∗ → Γ ∗ der Klasse FP, die x ∈ L ⇐⇒ f(x) ∈ L0 erfüllt, zeigen wir, dass
ˆG