Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

5.3. WEITERE UNENTSCHEIDBARE PROBLEME 129
Sprache aller Codes {c(M); M eine TM}. Die letztere Sprache ist rekursiv,
siehe Bemerkung in 5.1 Falls also auch LS rekursiv wäre, müsste L S rekursiv
sein. Aus Satz ??? folgt, dass LS nicht rekursiv ist.
5.3.5 Minimierung von Turingmaschinen
Wir zeigen, dass es im Gegensatz zu endlichen Automaten keinen Minimierungsalgorithmus
für Turingmaschinen gibt. Für jede TM (die, wie oben, das Bandalphabet
{0, 1} hat) bezeichnen wir mit fM die partielle Funktion, die M wie folgt berechnet:
falls M die Eingabe n (binär) hat, und falls M hält, ist fM(n) die Zahl, die
auf dem Band steht, wenn alle Blanksymbole und eventuell am Anfang stehende
Nullen ignoriert werden. Ein Minimierungsalgorithmus für Turingmaschinen ist ein
Algorithmus A, der jeder Turingmaschine M eine Turingmaschine A(M) mit der
minimalen Anzahl von Zuständen zuordnet, die dieselbe Funktion berechnet,
fM(n) = f A(M)(n) für alle n.
Beispiel 1. Für jede Turingmaschine M, die die Identitätsfunktion berechnet, d.h.,
fM(n) = n für alle n ∈ erfüllt, hat die Turingmaschine A(M) nur einen Zustand.
Denn die Identitätsfunktion kann von einer TM mit einem einzigen Zustand und
keiner Übergangsregel realisiert werden.
Satz 2. Es gibt keinen Minimierungsalgorithmus für Turingmaschinen.
Beweis. Wir merken erst an, dass es für jede Turingmaschine M und jedes Wort
w möglich ist, die folgende Turingmaschine M (w) zu konstruieren
TURINGMASCHINE M (w)
n EINGABE
Hält M auf die
Eingabe w in
(binär)
höchstens n Schritten?
JA
M(w) schreibt Ausgabe 0
NEIN
M(w) lässt n ausgeben
Also simuliert M (w) die Turingmaschine M auf die Eingabe w für k ≤ n Schritte,
bis M hält, und dann schreibt M (w) die Ausgabe 0; falls M in n Schritten nicht
hält, schreibt M (w) die Ausgabe n. Der Übergang von M und w zu M (w) kann
offensichtlich von einer Turingmaschine ˆ M durchgeführt werden ( ˆ M ist eine einfache
Modifikation der universalen TM). Also ist ˆ M eine TM, die auf die Eingabe c(M)w
die Ausgabe c(M (w)) liefert. Es gilt:
fM (w) (n) = n, falls M auf Eingabe w nicht hält,
d.h., die Machine M (w) berechnet die Identitätsfunktion. Also gilt für jeden Minimierungsalgorithmus
A,
A(M (w)) hat 1 Zustand, falls M auf w nicht hält.
Umgekehrt gilt: falls M auf Eingabe w hält, ist fM (w) nicht die Identitätsfunktion.
Es gilt also:
M hält nicht auf Eingabe w ⇐⇒ A(M (w)) berechnet die Identitätsfunktion.