Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.10. KOMPLEXITÄT VON OPTIMIERUNGSPROBLEMEN 177
Der folgende erweiternde Weg
führt zum folgenden Fluß:
x
• •
y
s • •
•
z
x′
y
•
′
•
t
•
′ z
s, y, z ′ , z, x ′ , x, y ′ , t
x
• •
y
s • •
•
z
x′
y
•
′
•
t
•
′ z
Auch für MAXFLOW gibt es einen Algorithmus, der aufrund erweiternder Wege in
der Zeit O(nk) das Problem löst.
Um das Konzept eines Optimierungsproblems zu formalisieren, nehmen wir an, dass
die Eingabe sowie potentielle Lösungen in demselben Alphabet Σ codiert werden.
Z.B. nehmen wir für MINIMALE FÄRBUNG an, dass die Eingabe G binär (z.B.
als Adjazenzmatrix) codiert wird, also über Σ = {0, 1}. Jede Färbung mit k Farben
1, 2, . . .,k kann auch über Σ codiert werden, z.B. als das Wort 0 i1 10 i2 1 . . .10 in 1,
wobei der Knoten 1 mit der Farbe i1 gefärbt wird, der Knoten 2 mit der Farbe i2,
usw. Wir haben eine Relation L auf der Menge Σ ∗ aller Wörter, wobei
vLw
bedeutet, dass die Instanz v des Problems durch w gelöst wird. D.h., dass v einen
Graphen G codiert, w eine Färbung codiert und diese Färbung für G korrekt ist.
Schließlich haben wir einen Parameter c(v, w), den wir optimieren wollen, und der
von der Eingabe v und der Lösung w abhängen kann. Wir betrachten also eine
Funktion
c : L →
Für MINIMALE FÄRBUNG ist
Allgemein:
c(v, w) = Anzahl der in w verwendeten Farben.
Definition. 1. Ein Optimierungsproblem ist ein 5-Tupel (Σ, E, A, L, c), wobei
Σ ein Alphabet ist (in dem Eingaben und Lösungen codiert werden),
E eine Sprache über Σ ist (aller möglichen Eingaben),
A eine Sprache über Σ ist (aller möglichen Lösungen oder Ausgaben)