Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

162 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
Beispiel 2. 1. Jedes Problem der Klasse P gehört zu N P.
2. ZERLEGBARKEIT ist ein Problem der Klasse N P; es ist nicht bekannt, ob
es zur Klasse P gehört.
3. ERFÜLLBARKEIT (siehe Beispiel 5 in 6.2) ist ein Problem der Klasse N P:
für jede Boolesche Formel f(x1, . . . , xn) und jede ” potentielle Lösung“, d.h.
jede (beliebig berechnete) Belegung aller Variablen x1, . . . , xn, können wir
effizient entscheiden, ob der Wert von f true oder false ist. Es ist einfach,
eine NTM mit polynomialer Zeitkomplexität zu konstruieren, die das Problem
ERFÜLLBARKEIT löst: Band 1 ist ein Eingabeband, auf dem ein Code der
Formel f(x1, . . .,xn) gespeichert wird. Auf Band 2 erzeugt die NTM nichtdeterministisch
n Werte 0 oder 1. Dann berechnet sie den Wert von f mit diesen
n Variablenwerten (mit 1 = true und 0 = false).
4. TRAVELING SALESMAN PROBLEM (TSP) ist ein Problem der Klasse
N P mit großer praktischer Relevanz. Die Eingabe ist eine Liste S1, . . . , Sn
von Städten und eine Matrix von Zahlen
d(i, j) ≥ 0 für i, j = 1, . . .,n
die die Distanz von Si zu Sj repräsentieren (oder die Kosten der Reise von
Si nach Sj). Die Aufgabe ist, zu entscheiden, ob alle Städte besucht werden
können, ohne dass die gesamten Kosten eine gegebene Zahl k überschreiten.
Das heißt: die Eingabe besteht aus Zahlen k und dij für i, j = 1, . . .,n. Die
Lösung ist eine Rundfahrt, d.h. eine Permutation (i1, i2, . . . , in) der Zahlen
1, . . .,n, so dass
(∗) d(i1, i2) + d(i2, i3) + · · · + d(in−1, in) + d(in, i1) ≤ k.
Auch für dieses Problem gibt es keinen effizienten Algorithmus. Aber das
Problem gehört sicher zu N P: falls eine Permutation gegeben wird, benötigt
die Überprüfung der Ungleichung (∗) nur lineare Zeit.
Satz 1. Jede NTM mit der Zeitkomplexität p(n) kann von einer TM mit der Zeitkomplexität
O(K p(n) ) wobei K eine Konstante ist
simuliert werden.
Beweis. Im Beweis des Satzes 1 in 3.4 haben wir eine Simulation einer nichtdeterministischen
Turingmaschine M durch eine deterministische 3-Band Turingmaschine
M gezeigt. Wir beweisen, dass M die Zeitkomplexität O(r 2p(n) ) für eine Konstante
r hat, falls M die Zeitkomplexität p(n) hat. Danach simulieren wir M mit einer
(1-Band) TM, deren Komplexität O(n 2 + (r 2p(n) ) 2 ) ist, siehe Satz 1 in 6.4. Da
(r 2p(n) ) 2 = r 4p(n) , setzen wir K = r 4 : die Funktion n 2 + r 4p(n) gehört zu O(K p(n) ).
Sei, wie im Beweis des Satzes 1 in 3.4, eine Numerierung der Übergänge (q, s) →
(qi, si) für i = 1, . . .,r gegeben. Für jede Eingabe der Länge n brauchen wir nur die
ersten p(n) Berechnungsschritte der Maschine M zu simulieren. Die Maschine M
erzeugt systematisch alle Listen aus Zahlen
i1i2 . . . ik
auf Band 2 – die Anzahl dieser Listen ist
mit k ≤ p(n) (und 1 ≤ is ≤ r für s = 1, . . .,k)
r + r 2 + r 3 + · · · + r p(n) ∈ O(r p(n) ).
Für jede Liste wird M (in k ≤ p(n) Schritten) simuliert, also dauert die ganze Simulation
einer Eingabe höchstens O(p(n)r p(n) ) Schritte. Es gilt p(n)r p(n) ∈ O(r 2p(n) ).