Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.9. KOMPLEXITÄTSKLASSE CON P 173
Definition. Eine Sprache L0 heißt coN P-vollständig, falls sie in coN P liegt und
L ∈ coN P =⇒ L ⊳ L0.
Beispiel 3. GÜLTIGKEIT ist coN P-vollständig.
in der Tat, gegeben L ∈ coN P, dann gibt es weil L ∈ N P, eine Reduktion in
polynomialer Zeit von L auf ERFÜLLBARKEIT. Sei f diese Reduktion: jedem
Wort w wird eine Formel f(w) zugeordnet mit
w ∈ L ⇐⇒ f(w) erfüllbar.
Eine Formel φ ist genau dann gültig, wenn ¬φ immer false, d.h. unerfüllbar ist. Sei
jetzt g die folgende Funktion:
g(w) = ¬f(w)
Aus f ∈ FP folgt bestimmt g ∈ FP. Und
w ∈ L ⇐⇒ w /∈ L
⇐⇒ f(w) nicht erfüllbar
⇐⇒ g(w) gültig
Offenes Problem: Gilt N P = coN P ? Die Antwort ist ja, falls GÜLTIGKEIT in
N P liegt:
Satz 1. Falls N P = coN P, endhält N P keine coN P-vollständige Sprache.
Beweis. Sei L0 coN P-vollständig. Wir beweisen, dass
L0 ∈ N P =⇒ L ∈ N P für alle L ∈ coN P
d.h., falls L0 ∈ N P, gilt coN P ⊆ N P):
Es gibt Reduktion f in polynomialer Zeit von L nach L0 (da L ∈ coN P). Gegeben
eine NTM M, die L0 in polynomialer Zeit akzeptiert, die Kombination
Band 1
Band 2
f berechnet
M simuliert
ergibt eine NTM, die L in polynomialer Zeit akzeptiert, also L ∈ N P.
Und
L0 ∈ N P =⇒ L ∈ coN P für alle L ∈ N P
(d.h., N P ⊆ coN P): hier existiert eine Reduktion f von L auf L0, und die obige
NTM akzeptiert in polynomialer Zeit die Sprache L, das beweist L ∈ N P, also
L ∈ coN P.
Bemerkung 2. Für PRIMZAHL gilt auch
PRIMZAHL ∈ N P,
aber dies ist ein nichttriviales Ergebnis, dessen Beweis hier nicht durchgeführt wird.
Die Klasse
N P ∩ coN P
aller Probleme, die effektives Zertifikat für Antwort JA sowie für Antwort NEIN
habe, enthält also interssante Probleme. Wir wissen, dass sie P enthält.
Offenes Problem Gilt P = N P ∩ coN P?