Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

120 KAPITEL 5. UNENTSCHEIDBARE PROBLEME
Wie in Abschnitt 3.3 bewiesen, ist die Sprache Lcode nicht rekursiv-aufzählbar. Das
bedeutet, dass kein Algorithmus entscheiden kann, ob eine beliebige TM ihr eigenes
Wort akzeptiert oder nicht.
In konkreten Fällen ist diese Entscheidung trotzdem möglich. Die Unentscheidbarkeit
von Lcode (oder eines beliebigen anderen Problems) bezieht sich immer nur auf
die Klasse aller möglichen Eingaben, nie auf einen Einzelfall.
Universelle Turingmaschine Mu Wir konstruieren jetzt eine universelle Turingmaschine
Mu. Also reagiert sie auf die Eingabe c(M)w, wobei M eine TM und w
ein Wort über {0, 1} ist, wie folgt:
1. Mu hält genau dann, wenn M auf das Wort w hält,
2. Mu akzeptiert genau dann, wenn M das Wort w akzeptiert
3. falls M gehalten hat, hat Mu auf Band 1 dasselbe Ausgabewort wie M.
Die Maschine Mu wird als eine 3-Band TM beschrieben, aber wir wissen, dass das
unwichtig ist, weil wir eine 1-Band TM konstruieren können, die Mu simuliert.
BAND 1
BAND 2
BAND 3
# 1 1 1 . . . 1 1 1 1 0 1 . . . 1 # # . . .
c(M)
Enthält c(M)
0 0 . . . 0
i + 1
w
Zustand qi
Band 1 enthält am Anfang die Eingabe c(M)w und die Bänder 2 und 3 sind, wie
üblich, leer. Zur Vorbereitung auf die Simulation führt Mu die folgenden Schritte
aus:
1. c(M) wird von Band 1 auf Band 2 kopiert und auf Band 1 gelöscht,
2. der Kopf von Band 1 wird auf das erste Symbol von w gestellt
3. Auf Band 3 wird 0 geschrieben (Zustand q0), und der Kopf wird auf die 0
gestellt.
BAND 1
BAND 2
BAND 3
# 1 0 1 . . . 1 # # . . .
⇑
c(M)
1 1 1 . . . 1 1 1
⇑
# 0 #
⇑
c(M)