Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

154 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
v1 = p1
pi0
.
p2
..
•
.
•
..
•
•
•
ps
•
.
•
q2
•
•
•
q1
..
•
.
•
..
•
•
•
•
•
•
•
•
obere Hülle für v1, . . . , v n/2
Wir bezeichnen die obere Hülle von v1, . . . , v n/2 mit
p1, p2, . . . , ps
und die obere Hülle für v n/2+1, . . .,vn mit
q1, q2, . . .,qt.
qj0
qt = vn
obere Hülle für v n/2+1, . . . , vn
2b Wir berechnen die obere Tangente der beiden gefundenen oberen Hüllen: das
ist das Segment L(pi0, qj0), so dass alle Punkte p1, . . .,ps, q1, . . .,qt unter ihm
liegen.
2c Die obere Hülle der Punkte v1, . . .,vn ist
3. Berechnung der unteren Hülle
Dies geschieht analog zu (2).
p1, p2, . . . , pi0, qj0, qj0+1, . . . , qt.
4. Die konvexe Hülle ergibt sich aus der oberen Hülle gefolgt von der unteren
Hülle.
Zeitkomplexität: Schritt (1) hat die Zeitkomplexität O(n log n). Wir zeigen jetzt,
dass auch Schritt (2) diese Zeitkomplexität hat; analoges gilt für Schritt (3). Da
(4) in n Zeiteinheiten geschrieben werden kann, ist damit bewiesen, dass der ganze
Algorithmus die Zeitkomplexität
O(n log n)
hat. Wir zeigen später, dass dies optimal ist.
Zeitkomplexität von Schritt (2): Sie hängt von der Zeitkomplexität von (2b) ab.
Wir zeigen, dass die obere Tangente in O(log n) Schritten gefunden werden kann.
Dann folgt, falls Schritt (2) in t(n) Zeiteinheiten berechnet wird, dass die Schritte
(2a) - (2c) die folgende Zeitkomplexität haben:
(2a) 2t( n
(2b)
2 )
O(log n)
Zeiteinheiten
Zeiteinheiten
(2c) O(n) Zeiteinheiten
Es gibt also Konstanten n0 und K, so dass
für alle n ≥ n0 gilt t(n) ≤ 2t( n
) + K.
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