Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

148 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
6.4.1 TM mit zusätzlichem Gedächtnis
Erinnern wir daran, dass eine TM mit zusätzlichem Gedächtnis die Möglichkeit
eines Zugriffs auf ein Gedächtnis hat, in dem Symbole eines endlichen Alphabets
A gespeichert werden, siehe 3.2.2. Dies ist allerdings eine ” normale“ TM mit der
Zustandsmenge Q × A. Für die Definition der Klasse P ist es also unerheblich, ob
wir TM oder TM mit zusätzlichem Gedächtnis als Berechnungsmodell anwenden.
6.4.2 TM mit mehrspurigem Band
Auch dieses Modell ändert die Klasse P nicht, denn wie in 3.2.3 gezeigt wurde, ist
eine TM mit k-spurigem Band eine ” normale“ TM mit dem Bandalphabet
Σ = (Σ1 ∪ {#}) × · · · × (Σk ∪ {#}) − {(#, . . . , #)}.
6.4.3 Mehr-Band TM
In 3.2.4 haben wir das Modell einer k-Band-TM eingeführt: die TM hat k Bänder
mit k unabhängigen Lese- und Schreibköpfen, aber mit einer Steuereinheit, die
aufgrund des gegebenen Zustandes und der k gelesenen Symbole die Aktivität der
k Köpfe steuert. Wir haben in 3.2.4 bewiesen, dass jede k-Band-TM durch eine TM
simuliert werden kann. Jetzt beweisen wir, dass dies in polynomialer Zeit möglich
ist:
Satz 1. Jede k-Band-TM mit einer Zeitkomplexität t(n) ≥ n kann durch eine 1-
Band-TM mit einer Zeitkomplexität O(t(n) 2 ) simuliert werden.
Beweis. Wir führen den Beweis für k = 2 durch, der allgemeine Fall läßt sich ganz
analog durchführen. Wir gehen von der Simulation, die in Kapitel 3 (siehe 3.2.2)
beschrieben wurde, aus. Jeder Berechnungsschritt der Simulation hat drei Unterabschnitte.
Abschnitt 1 (der Anfang) dauert einen Schritt, Abschnitt 2 (Kopfbewegung
nach rechts oder links) benötigt höchstens O(t(n)) Schritte, denn der Kopf
wird unter das nächste Symbol ⇑ bewegt und in der Zeit t(n) kann die k-Band-
TM auf jedem Band höchstens O(t(n)) neue Felder beschreiben. Im Abschnitt 3
wird die Berechnung von Kopf i simuliert (in konstanter Zeit für i = 1, 2) und der
Kopf wird zwischen die beiden Symbole ⇑ (in O(t(n)) Schritten bewegt. Jeder Simulationsdurchgang
dauert also höchstens O(t(n)) Schritte. Da wir höchstens t(n)
Durchgänge benötigen, hat die 1-Band-TM die Zeitkomplexität O(t(n) 2 ).
Korollar 1. Jede Sprache, die von einer k-Band-TM mit polynomialer Zeitkomplexität
akzeptiert wird, gehört zur Klasse P.
Beweis. Falls t(n) ein Polynom ist, ist auch t(n) 2 ein Polynom.
Bemerkung 1. Mit anderen Worten würde die Klasse P die gleiche bleiben, falls
wir bei der Definition von P anstelle der TM die k-Band-TM benutzt hätten. Das
gilt auch für die Klasse FP.
6.4.4 RAM
In Kapitel 4 haben wir RAM als ein realistischeres Berechnungsmodell als TM eingeführt.
Dann haben wir bewiesen, dass die Modelle RAM und TM die gleiche Leistung
haben. Das gilt auch für die entsprechenden Klassen FP der in polynomialer
Zeit berechenbaren Funktionen. Zuerst müssen wir aber erklären, was Zeitkomplexität
für RAMs bedeutet. Es gibt zwei Varianten: