Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.2. KOMPLEXITÄTSKLASSE P 139
wobei δ durch die folgenden Übergangsregeln bestimmt wird:
(q0, 0) → (q0, R)
(q0, 1) → (q1, R)
(q0, #) → (qF,#)
(q1, 0) → (q0, R)
(q1, #) → (qF,#)
Jede Eingabe der Länge n liest die TM von links nach rechts und hält spätestens
bei dem Symbol # hinter dem Eingabewort, also nach höchstens n + 1 Schritten.
Sie hat also die Zeitkomplexität
t(n) = n + 1.
Bemerkung 1. 1. Im Kapitel 3 haben wir verschiedene Varianten von TM eingeführt
(zum Beispiel mit zusätzlichem Gedächtnis, mit mehreren Bändern,
usw.). Die Definition der Klasse P (s.u.) ist unabhängig davon, welche der
Varianten als TM gemeint ist; das beweisen wir exakt im Abschnitt 6.4.
2. Zeitkomplexität ist nicht eindeutig definiert (denn sie ist nur eine Abschätzung
für die Anzahl der Berechnungsschritte). Genau genommen ist jede Funktion
t ′ (n) mit t ′ (n) ≥ n+1 für alle n auch eine Zeitkomplexität der TM aus Beispiel
1.
Beispiel 2. Die Sprache aller Palindrome (siehe Abschnitt 2.1, Beispiel 3) wird von
der folgenden Turingmaschine M akzeptiert. Die Maschine M hat ein zusätzliches
Gedächtnis (siehe 3.2.2) für die Symbole aus Σ und vier Zustände: q0, Initialzustand,
qR und qL (für die Bewegung nach links oder rechts des Kopfes der Turingmaschine)
und qF, einen finalen Zustand.
Zustand q0: Falls # gelesen wird, hält die TM und akzeptiert. Falls ein Symbol aus
Σ gelesen wird, speichert die TM es im Gedächtnis, löscht es und geht zu qR über.
Zustand qR bewegt den Kopf nach rechts bis er # liest, dann bewegt sich der Kopf
einen Schritt nach links. [Problem: nach dem Löschen des ersten Symbols steht die
TM im Zustand qR auf einem #; daher wird ein spezielles Löschsymbol benötigt.]
Falls das jetzt gelesene Symbol mit dem Gedächtnis übereinstimmt, wird es gelöscht
und die TM geht zu qL über; falls nicht, hält die TM und akzeptiert nicht. [Problem:
zum Löschen am rechten Rand brauchen wir einen weiteren Zustand, etwa qC.]
Zustand qL bewegt den Kopf nach links bis er # liest [bzw. das neue Löschsymbol],
dann bewegt er den Kopf einen Schritt nach rechts und geht zu q0 über.
Wie lange dauert die Berechnung einer Eingabe der Länge n? Der Übergang q0 → qR
dauert einen Schritt und der Übergang qR → qL dauert n + 2 Schritte. Es dauert
also
1 + (n + 2) + n = 2n + 3
Schritte, bis wieder q0 erreicht wird. Jetzt beginnt dieselbe Berechnung mit einem
Wort der Länge n − 2. Der Zustand q0 wird also in 2(n − 2) + 3 Schritten wieder
erreicht. (Wir nehmen immer den schlechtesten Fall an, hier also den Fall, dass die
Eingabe wirklich ein Palindrom ist.) Die gesamte Berechnungszeit beträgt höchstens
t(n) = (2n + 3) + (2n − 1) + · · · + 5 + 1
Schritte. Diese Summe ist gleich n 2 + 4n + 4, wie durch Induktion leicht bewiesen
werden kann (?). Das bedeutet, dass unsere TM die Zeitkomplexität
t(n) = n 2 + 4n + 4