Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

3.2. MODIFIKATIONEN VON TURINGMASCHINEN 81
Die Maschine entscheidet in jedem Schritt abhängig vom Zustand und dem Inhalt
beider Spuren (1) was der nächste Zustand wird und (2) ob sich der Kopf bewegt
oder beide Spuren gleichzeitig überschrieben werden.
Eine 2-Spur-TM ist eigentlich eine TM im vorher definierten Sinne, deren Bandalphabet
aus Paaren (s1, s2), mit s1 ∈ Σ1 und s2 ∈ Σ2, geformt wird. Die einzige
Ausnahme ist das Paar (#, #), das jetzt als Blank-Symbol dient. Also ist eine 2-
Spur-TM einfach eine TM mit dem Eingabealphabet
Σ = Σ1 × Σ2 − {(#, #)}.
Analoges gilt für k-spurige Maschinen, die auf der i-ten Spur Symbole aus Σi tragen
(i = 1, . . .,k): das sind also die ” normalen“ TM mit Eingabealphabet
Σ = Σ1 × Σ2 × · · · × Σk − {(#, #, . . .,#)}
und mit dem Blanksymbol (#, #, . . . , #).
Beispiel 3. Primzahltest
Wir zeigen, wie man eine 3-spurige TM konstruiert, die die Sprache L aller Primzahlen
(in binärer Darstellung) akzeptiert. Hiermit kann man auch gut die Idee
von Turing illustrieren, dass jeder Algorithmus mit einer TM automatisiert werden
kann. Wir verwenden hier den primitiven Algorithmus, der jede Zahl n durch
alle Testzahlen 2, 3, 4, . . ., n − 1 teilt und n akzeptiert, falls alle Divisionen einen
positiven Rest ergeben.
EINGABESPUR
TESTZAHLSPUR
HILFSSPUR
. . . 1 0 1 1 1
. . .
. . . 1 0 1
. . .
. . . 1 0 1 1 1
⇑
. . .
q0
Die Spuren der TM sind (1) Eingabespur, die während der Berechnung unverändert
bleibt, (2) Testzahlspur, die am Anfang mit 1 beschriftet wird und in jedem Berechnungsdurchgang
um eins vergrößert wird (sodass in dem ersten Berechnungsdurchgang
durch 2 dividiert wird, im zweiten mit 3, usw.) und (3) eine Hilfsspur. Wir
schreiben am Anfang also die gegebene Zahl n = 1, 2, 3, . . . auf Spur 1, die Zahl 1
auf Spur 2 und nichts auf Spur 3. Der Initialzustand q0 überprüft (durch Vergleich
mit Spur 2), ob auf Spur 1 eine Zahl n ≥ 2 steht. Im Fall von n = 0 oder n = 1,
wird der Zustand q0 zu
q−, einem nicht-finalen Haltezustand
verändert. (Also werden 0 und 1 nicht akzeptiert.) Falls n ≥ 2 ist, werden Berechnungsdurchgänge
rekursiv durchgeführt, die man wie folgt beschreiben kann:
Anfang eines Berechnungsdurchganges: Spur 1 wird auf Spur 3 kopiert. Die Zahl
auf Spur 2 wird um 1 vergrößert. Die Spuren 1 und 2 werden verglichen und falls
die Zahlen gleich sind, wird der Zustand zu
q+, einem finalen Haltezustand
geändert (die Eingabe wird also akzeptiert, denn keine Zahl kleiner n, die n teilt,
wurde gefunden).
Rumpf eines Berechnungsdurchganges: Die Zahl von Spur 3 wird durch die auf Spur
2 dividiert (z.B. durch wiederholte Subtraktion).
Ende eines Berechnungsdurchganges: Jetzt steht auf Spur 3 der Rest der Eingabe
modulo der Testzahl. Falls der Rest 0 ist, wird der Zustand zu q− verändert. Falls
der Rest positiv ist, wird der Kopf nach links zum ersten Symbol 1 von Spur 1
geschoben und ein neuer Berechnungsdurchgang beginnt.
Es ist leicht einzusehen, dass sich diese informale Beschreibung der Turingmaschine
relativ einfach durch eine formal definierte TM realisieren lässt.