Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.7. N P-VOLLSTÄNDIGKEIT 167
Satz 3. Eine Sprache gehört genau dann zur Klasse N P, wenn sie eine Zertifikatensprache
hat.
Beweis. 1. Gegeben eine Zertifikatensprache Lcheck ⊆ Γ ∗ für L ⊆ Σ ∗ *, wir
beweisen, dass L ∈ N P.
Sei M eine Turingmaschine mit polynomialer Zeitkomplexität q(n), die Lcheck
akzeptiert. Dann haben wir die folgende nichtdeterministische Turingmaschine
M ∗ , die L akzeptiert:
Band 1
Eingabeband
Band 2
Erzeugung von z
Band 3
Simulation von M
. . .
w1 w2 wn
z1 z2 . . . zk für k ≤ p(n)
. . . . . .
w1 w2 wn z1 z2 zk
Auf Band 1 steht die Eigabe w der Länge n. Auf Band 2 wird nichtdeterministisch
ein Wort z über der Länge k ≤ p(n) geschrieben. Dann werden
w und danach z auf Band 3 kopiert, und die Maschine M wird simuliert;
falls M hält und akzeptiert, hält auch M ∗ und akzeptiert. Es folgt also,
dass M ∗ genau die Wörter w akzeptiert, für die es ein Wort z der Länge
≤ p(n) mit wz ∈ Lcheck gibt – also akzeptiert M ∗ die Sprache L. Die Erzeugung
von z dauert 2k ∈ O(p(n)) Schritte und die Simulation von M dauert
q(n+k) ∈ O(q(p(n))) Schritte, also hat M ∗ eine polynomiale Zeitkomplexität.
2. Für jede Sprache L ⊆ Σ ∗ der Klasse N P konstruieren wir eine Zertifikatensprache.
Wir haben eine nichtdeterministische Turingmaschine M mit polynomialer
Zeitkomplexität p(n), die L akzeptiert. Für jedes Wort w ∈ L der
Länge n gibt es eine Boolesche Formel φw der Länge O(p 2 (n)), die die Berechnung
von w vollständig beschreibt – siehe den obigen Beweis des Cookschen
Satzes. Da φw eine Formel in KNF ist, ist sie ein Wort aus den Symbolen
∨, ∧, (, ), x0, x1, x10, . . . , xi (i ≤ p(n) 2 )
wobei i binär dargestellt wird, also ein Wort über
Γ = {∨, ∧, (, ), x, 0, 1}.
Das Wort w hat die Länge O(p 2 (n)). Genauer gibt es nur eine Konstante
K, so dass für jedes Wort w ∈ L der Länge n die Berechnung von w durch
eine Formel φw der Länge ≤ Kp 2 (n) repräsentiert wird. Nehmen wir der
Einfachheit halber an, dass Γ ∩ Σ = ∅. Dann ist die folgende Sprache Lcheck
über Σ ∪ Γ eine Zertifikatensprache für L: Lcheck besteht aus allen Wörtern
wφ, wobei w ein Wort über Σ (der Länge n) ist und φ eine Boolesche Formel
der Länge ≤ Kp 2 (n), die eine akzeptierende Berechnung von w beschreibt,
ist.
(a) Lcheck gehört zu P.
In der Tat, für jedes Wort u der Länge m über Σ ∪ Γ überprüfen wir,
i. ob u = wφ für w ∈ Σ ∗ und φ ∈ Γ ∗ , wobei w die Länge n und φ die
Länge ≤ Kp 2 (n) hat und