Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

168 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
ii. falls ja, ob φ = φw die Formel aus dem Beweis des Cookschen Satzes
ist.
Das kann in linearer Zeit O(m) überprüft werden.
(b) w ∈ L ⇐⇒ es gibt ein Wort wφ ∈ Lcheck, so dass φ die Länge ≤ Kp 2 (n)
hat, wobei n die Länge von w ist.
Das folgt aus der Konstruktion von Lcheck.
6.8 Weitere N P-vollständige Probleme
Satz 1. Sei L eine N P-vollständige Sprache. Dann ist jede Sprache in N P, auf
die L in polynomialer Zeit reduziert werden kann, auch N P-vollständig.
Beweis. Sei L0 ⊆ Γ ∗ eine Sprache der Klasse N P, und sei f : Σ ∗ → Γ ∗ eine
Reduktion von L ⊆ Σ ∗ auf L0 in polynomialer Zeit. Wir beweisen, dass L0 N Pvollständig
ist.
Für jede Sprache L ′ ⊆ (Σ ′ ) ∗ der Klasse N P gibt es eine Reduktion g : (Σ ′ ) ∗ → Σ ∗
von L ′ nach L in polynomialer Zeit. Es genügt zu zeigen, dass die zusammengesetzte
Abbildung f(g(x)) von (Σ ′ ) ∗ nach Γ ∗ eine Reduktion in polynomialer Zeit von L ′
nach L0 ist. Damit ist die N P-Vollständigkeit von L0 bewiesen.
Für jedes Wort x über Σ gilt
x ∈ L ′ ⇐⇒ g(x) ∈ L ⇐⇒ f(g(x)) ∈ L0,
also müssen wir nur zeigen, dass f(g(x)) eine Funktion der Klasse FP ist. Sei M
eine TM, die f berechnet und die polynomiale Zeitkomplexität p(n) hat, und sei
M eine TM, die g berechnet und die polynomiale Zeitkomplexität q(n) hat. Dann
haben wir eine 2-Band Maschine M ∗ , die auf Band 1 die Maschine M simuliert
(in q(n) Schritten) und das Ergebnis auf Band 2 kopiert, wo sie die Maschine M
simuliert (in p(q(n)) Schritten). Das Ergebnis von M ∗ auf Band 2 ist das Wort
f(g(x)), das in O(p(q(n))) Schritten berechnet wurde.
Beispiel 1 (3-ERFÜLLBARKEIT). Wir wissen, dass 2-ERFÜLLBARKEIT zu P
gehört. Trotzdem ist 3-ERFÜLLBARKEIT, d.h., das Problem der Erfüllbarkeit für
Formeln, die in KNF höchstens drei Literale je Klausel enthalten, NP-vollständig:
1. 3-ERFÜLLBARKEIT gehört zu N P – klar.
2. Für ERFÜLLBARKEIT existiert eine Reduktion in polynomialer Zeit auf
3-ERFÜLLBARKEIT:
In der Tat kann jede Klausel aus vier Literalen
mit zwei Klauseln aus je drei Literalen
a1 ∨ a2 ∨ a3 ∨ a4
(a1 ∨ a2 ∨ b) ∧ (¬b ∨ a3 ∨ a4)
ersetzt werden. Es ist klar, dass a1 ∨ a2 ∨ a3 ∨ a4 genau dann erfüllt ist, wenn die
letzte Formel mit b = true oder b = false erfüllt. Analog wird
mit drei Klauseln ersetzt:
a1 ∨ a2 ∨ a3 ∨ a4 ∨ a5
(a1 ∨ a2 ∨ b) ∧ (¬b ∨ a3 ∨ c) ∧ (¬c ∨ a4 ∨ a5)
usw. Diese Übersetzung dauert lineare Zeit O(n), denn für jede Klausel der Länge
n benötigen wir n − 2 Klauseln der Länge 3.