Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

104 KAPITEL 4. CHURCHSCHE THESE
Beispiel 1. Eine Grammatik für die Sprache
{|, ||, ||||, . . . } = {2n ; n ∈ }
(die nicht kontextfrei ist! ). Die Idee ist, dass wir mit dem Wort [A] anfangen und
die Zahl von A’s verdoppelt werden kann. Dafür verwenden wir eine Variable D, die
links auftauchen kann (also [ → [D) und rechts verschwinden kann (also D] → ]),
und die auf ihrem Weg nach rechts A verdoppelt: DA → AAD. Am Ende bekommen
wir [AA · · · A], wobei die Anzahl der A’s gleich 2n ist. Jetzt brauchen wir nur die
Klammern zu entfernen und A in | umwandeln. Formal:
G = ({|}, {S, A, D, [, ]}, S, R),
wobei R die folgenden Produktionen sind:
(1) S → [A]
(2) [ → [D
(3) D] → ]
(4) DA → AAD
(5) [ → ε
(6) ] → ε
(7) A → |
Es gilt:
L(G) = {2n ; n ∈ }.
Beweis. Erst zeigen wir, wie 2 n abgeleitet wird, also {2 n ; n ∈ } ⊆ L(G):
S ⇒ [A] Regel (1)
⇒ ∗ [D n A] Regel (2) n-mal
⇒ [D n−1 AAD] Regel (4) 1-mal
⇒ ∗ [D n−2 AAAAD 2 ] Regel (4) 2-mal
.
⇒∗ [A2nDn ] Regel (4) n-mal
⇒∗ [A2n] Regel (3) n-mal
⇒ A2n] Regel (5)
⇒ A2n Regel (6)
⇒ 2n Regel (7)
Ist umgekehrt w eine Zahl ist, also ein Wort über {|} mit S ⇒ ∗ w, beweisen wir
w = 2 n , das heißt L(G) ⊆ {2 n ; n ∈ }. Sei
S ⇒ w1 ⇒ w2 ⇒ · · · ⇒ wk ⇒ w
eine Ableitung von w. Bezeichnen wir durch m die Anzahl von Indizes i, für welche
die Regel (2) die Basis für wi ⇒ wi+1 ist. Da wk kein D enthält, musste die Regel
(3) genau m-mal angewandt werden. Dabei wurde die Anzahl der A’s bei jedem
” Durchgang“ eines D’s (von links also [D, nach rechts, d. h. D]) immer verdoppelt,
da dieser Durchgang nur auf Grund der Regel (4) möglich ist. Am Anfang gibt es
genau ein A: aus S ⇒ w1 folgt w1 = [A]. Also entstehen im Laufe der Ableitung
genau 2m Symbole A. Da das terminale Symbol | nur durch die Regel (7) erscheinen
kann und wk = w keine Variablen enthält, beweist dies, dass
w = | 2m.
Beispiel 2. Eine Grammatik für die (nicht kontextfreie) Sprache L = {a n b n c n ;
n ≥ 1}. Sei
G = ({a, b, c}, {B, C, S}, S, R)
die Grammatik mit den Regeln
(1) S → aBC | aSBC
(2) CB → BC
(3) aB → ab
(4) bB → bb
(5) bC → bc
(6) cC → cc