Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

122 KAPITEL 5. UNENTSCHEIDBARE PROBLEME
5.2 Das Halteproblem
Gibt es einen Algorithmus, der für jedes Paar
(Algorithmus c, Datei w)
entscheidet, ob c auf die Datei w hält? Aus Abschnitt 5.1 wissen wir, dass es einen
Algorithmus gibt, der auf die Eingabe (c, w) das Ergebnis von c auf die Datei w
berechnet - das macht die universale Turingmaschine! Dennoch ist die Antwort auf
die obige Frage, die als Halteproblem bekannt ist, negativ. Auch dann, wenn wir uns
nur auf die Algorithmen beschränken, die von TM mit dem Bandalphabet {0, 1}
repräsentiert werden, ist die Antwort negativ. Für diese Maschinen M haben wir
die Codierung c(M) aus Abschnitt 5.1, und wir können das Halteproblem präziser
formulieren: ist die Sprache
Lhalt = { v | v = c(M)w für ein binäres Wort w und eine Turingmaschine M,
rekursiv?
die auf Eingabe w hält }
Wir beweisen, dass Lhalt nicht rekursiv (also das Halteproblem nicht entscheidbar)
ist, sie aber rekursiv-aufzählbar ist. Daraus folgt, dass das Komplement Lhalt nicht
rekursiv-aufzählbar ist. Das bedeutet, dass das Problem, ob ein Algorithmus c auf
die Datei w nicht hält, nicht einmal mehr semi-entscheidbar ist.
Bemerken wir, dass in jedem Wort v = c(M)w der Code c(M) eindeutig bestimmt
ist (aufgrund der Trenngruppen 111 am Anfang und Ende von c(M)) und also auch
w eindeutig bestimmt ist. Es gibt einen Algorithmus, der überprüft, ob u diese Form
hat – siehe Bemerkung in Abschnitt 5.1.
Bemerkung 1. Viele (auch ungelöste!) mathematische Probleme kann man umformulieren
zu Fragen, ob eine leicht konstruierbare TM auf eine Eingabe hält.
Beispiel 1. Beispiel einer TM mit sehr interessantem Halteproblem. Es ist ziemlich
trivial, eine 5-Band-TM zu konstruieren, die auf Band 2 systematisch alle Zahlen
n = 3, 4, 5, . . . schreibt und für jede Zahl n auf die Bänder 3 - 5 systematisch alle
Zahlen a, b, c ≥ 2 schreibt und dann auf Band 1 die Zahl
a n + b n − c n
berechnet. Falls diese Zahl 0 ist, hält die TM. Falls nicht, berechnet die TM den
nächsten Quadrupel (n, a, b, c). Die Entscheidung, ob diese Turingmaschine M auf
die leere Eingabe hält, das heißt, ob
c(M) ∈ Lhalt
gilt, ist bestimmt höchst kompliziert: dies ist äquivalent zum Beweis des berühmten
Satzes von Fermat!
Satz 1. Die Sprache Lhalt ist rekursiv-aufzählbar.
Beweis. Die folgende Turingmaschine akzeptiert Lhalt:
v EINGABE
Hat v die Form
v = c(M)w für
eine TM M?
TURINGMASCHINE M0
JA
Hält Mu auf
Eingabe v?
NEIN NEIN
v nicht akzeptiert v nicht akzeptiert
JA
v akzeptiert