Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.5. GEOMETRISCHE ALGORITHMEN UND REELLE RAM 155
Da die Gleichung t(n) = 2t( n
2 ) + K · n die Lösung t(n) = K · n · log n hat, ist damit
bewiesen, dass Schritt 2 die Zeitkomplexität O(n log n) hat.
Wie wird die obere Tangente berechnet? Wir zeigen zuerst, wie man für jeden
Punkt pi (i = 1, . . .,s) in der Zeit O(log t) die obere Tangente von pi zu den Punkten
q1, . . . , qt berechnet, also wie man den Index j(i) findet, so dass alle Punkte q1, . . . , qs
unter der Linie L(pi, q j(i)) liegen.
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pi •
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q
j(i)
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qj+1
•
qj
• qj−1
•
Das können wir in der Zeit O(log t) durch binäres Suchen zwischen j = 1, . . .,t
berechnen, falls wir für jedes j in konstanter Zeit O(1) bestimmen, ob j(i) größer,
gleich oder kleiner als j ist. In der Tat:
• falls qj−1 und qj+1 unter L(pi, qj) liegen gilt j = j(i),
• falls qj−1 über L(pi, qj) liegt gilt j > j(i),
• falls qj+1 über L(pi, qj) liegt gilt j < j(i).
Analog kann man zeigen, dass in der Zeit O(log n) die globale obere Tangente
L(pi0, qj0) berechnet werden kann. Hier müssen wir für jedes Paar (i, j) entscheiden,
welcher der 9 Fälle (i = i0, j = j0 oder i = i0, j < j0 usw.) zutrifft. Jetzt bestimmen
wir i0 durch binäres Suchen zwischen i = 1, . . .,s: für jedes i benötigen wir die Zeit
O(log t), um j(i) zu berechnen, und dann nur konstante Zeit, um zu entscheiden,
ob i0 größer, gleich oder kleiner als i ist:
pi0
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pi+1
pi
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pi−1
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qj0
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q
j(i)
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•
• falls pi−1 und pi+1 unter L(pi, q j(i)) liegen, gilt i = i0,
• falls pi−1 über L(pi, q j(i)) liegt, gilt i < i0,
• falls pi+1 über L(pi, q j(i)) liegt, gilt i > i0.