Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

3.1. DEFINITION EINER TURINGMASCHINE 77
Konfiguration δ(q, si) Folgekonfiguration
(q, s1s2 . . . si−1sisi+1 . . . sn) (q ′ , L) (q ′ , s1s2 . . .si−1sisi+1 . . .sn)
(q, s1s2 . . . si−1sisi+1 . . . sn) (q ′ , R) (q ′ , s1s2 . . .si−1sisi+1 . . .sn)
(q, s1s2 . . . si−1sisi+1 . . . sn) (q ′ , s ′ ) (q ′ , s1s2 . . .si−1s ′ si+1 . . .sn)
(q, s1s2 . . . si−1sisi+1 . . . sn) nicht definiert keine (Haltekonfiguration)
Tabelle 3.1: Definition der Folgekonfiguration der TM
Bemerkung 1. Wie ist der Fall 1 zu verstehen, falls i = 1 gilt? Die Folgekonfiguration
zu (q0, s1 . . . sn) ist natürlich (q ′ , #s1 . . .sn). Analog folgt im Fall 2 aus i = n,
dass die Folgekonfiguration (q ′ , s1 . . . sn#) ist.
Notation. Die Relation ” Folgekonfiguration“ auf der Menge K aller Konfigurationen
bezeichnen wir mit dem Symbol ⊢. Also ergibt der 1. Fall
(q, s1s2 . . .si−1sisi+1 . . . sn) ⊢ (q ′ , s1s2 . . . si−1sisi+1 . . .sn)
usw. Die reflexive und transitive Hülle dieser Relation wird mit ⊢ ∗ bezeichnet; d.h.,
K ⊢ ∗ K ′ bedeutet, dass K und K ′ zwei Konfigurationen sind, die entweder gleich
sind oder dass es Konfigurationen
K = K0, K1, . . .,Kn = K ′
mit Ki−1 ⊢ Ki für i = 1, . . .,n gibt. Wir sagen, dass die Konfiguration K ′ von K
berechenbar ist.
In Beispiel 1 in Abschnitt 3.1 gilt
(q0, 132) ⊢ (q0, 132) ⊢ . . . ⊢ (q1, 132)
und, die letzte Konfiguration hat keine Folgekonfiguration, da sie eine Haltekonfiguration
ist.
Definition. Für jede Turingmaschine ist die Berechnung einer Eingabe s1s2 . . . sn
∈ Σ ∗ eine endliche oder unendliche Liste von Konfigurationen:
K0 ⊢ K1 ⊢ K2 ⊢ . . .
wobei
1. K0 die Initialkonfiguration mit K0 = (q0, s1s2 . . .sn) ist, und
2. falls die Liste endlich ist, ist die letzte Konfiguration eine Haltekonfiguration.
Wir sagen, dass die Turingmaschine die Eingabe genau dann akzeptiert, wenn ihre
Berechnung endlich ist und der Zustand der letzten Konfiguration final ist.
Bemerkung 2. Die Berechnung einer Eingabe w hat also drei mögliche Ergebnisse:
1. die TM hält und akzeptiert w,
2. die TM hält und akzeptiert w nicht,
3. die TM hält nicht (und akzeptiert w deshalb nicht).
Am Anfang ist die Eingabe ” kompakt“, also ohne Unterbrechung (durch #) auf dem
Band geschrieben. Im Verlauf der Berechnung kann # an jeder Stelle erscheinen.
Beispiel 2. In Beispiel 1 in Abschnitt 3.1 haben wir die Berechnung der Eingabe
132 beschrieben. Die letzte Konfiguration ist (q1, 132). Da q1 nicht final ist, wird
132 nicht akzeptiert.
Auch das leere Wort wird nicht akzeptiert: hier haben wir eine 1-Schritt-Berechnung,
denn (q0, #) ist eine Haltekonfiguration, und q0 ist nicht final.