Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.12. RAUMKOMPLEXITÄT 187
Ausgabe: JA genau dann, wenn φ den Wert true hat.
Bisher sprachen wir nur über Boolesche Formeln ohne Quantoren (∀x), (∃x). Die
quantifizierten Booleschen Formeln, QBF, in Variablen xi (i = 1, . . .,n) können wie
folgt definiert werden:
1. Jede Variable xi ist eine QBF
2. Die Konstanten true und false sind QBF
3. Falls E1, E2 zwei QBF sind, sind auch
QBF’n.
4. Falls E eine QBF ist, sind auch
(für jede Variable x) QBF’n.
E1 ∨ E2, E1 ∧ E2, E1 → E2 und ¬E2
(∀x)E und (∃x)E
Das heißt: die Menge aller QBF ist die kleinste Menge, für die 1 – 4 gilt. Beispiel:
E = (∀x)(∃y)(x → ((∀x)(¬y ∨ x))).
Dies ist eine geschlossene QBF, dass heißt, alle Variablen werden quantifiziert (der
innere Quantor (∀x) wirkt über die Formel (¬y ∨ x), der äußere über (∃y)(x →
((∀x)(¬y ∨x))) ). Jede geschlossene Formel hat einen Wert, den wir bekommen, indem
wir für jede quantifizierte Variable die Belegung mit true oder false betrachten.
Zum Beispiel in E müssen wir, aufgrund des äußeren (∀x), die zwei Formeln
und
E1 = (∃y)(true → ((∀x)(¬y ∨ x)))
E2 = (∃y)(false → ((∀x)(¬y ∨ x)))
bewerten: falls beide Werte true sind, ist E true (sonst false). Also
WERT(E) = WERT(E1) ∧ WERT(E2)
Um den Wert von E1 zu bewerten, müssen wir die Werte von
und
E11 = true → ((∀x)(¬true ∨ x))
E12 = true → ((∀x)(¬false ∨ x))
kennen: falls einer der Werte true ist, ist E1 true (sonst false), also
WERT(E1) = WERT(E11) ∨ WERT(E12).
Der Wert von E11 ist false: betrachten wir die Belegung x = true. Aber der Wert
von E12 ist true, da ¬false ∨ x = true ∨ x den Wert true hat für x = false,true.
Also
WERT(E1) = false ∨ true = true.
Analog kann man zeigen, dass WERT(E2) = true, also
WERT(E) = true.