Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.12. RAUMKOMPLEXITÄT 189
Korrektheit: Jede QBF kann in die Form mit Quantoren nach außen gebracht werden.
Falls die Formel in dieser Form keine freien Variablen besitzt, muß sie eine der
4 Typen oben sein. Die Rekursion erfolgt nach der Zahl k aller Quantoren von E.
Für k = 0 ist E = true oder E = false, falls k > 0 ist, gilt E = ∀xi(E) oder
E = ∃xi(E), wobei für E die Zahl aller Quantoren k − 1 ist. Nach k Rekursionsschritten
wird also WERT(E) berechnet sein.
Raumkomplexität: Sei E eine QBF der Länge n. Die Zahl k aller Quantoren in
E erfüllt k < n. Die Rekursion hat also Tiefe n und in jedem rekursiven Schritt
brauchen wir, wie oben erklärt wurde, nur Raum um 2 Bit größer als der Raum
des nächsten Schrittes. Das Wort E hat Länge n, also haben die in der Rekursion
gespeicherten Wörter Länge O(n), was mit n rekursiven Schritten Raum O(n 2 )
verlangt.
Offenes Problem: Liegt QBF in N PT IME?
In der Tat scheint dies unwahrscheinlich, denn QBF ist PSPACE-vollständig,
das heißt für jedes Problem der Klasse PSPACE gibt es eine Reduktion auf QBF
in polynomialer Zeit (!). Falls also QBF ∈ N PT IME ist, folgt N PT IME =
PSPACE.