Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

124 KAPITEL 5. UNENTSCHEIDBARE PROBLEME
• M auf w nicht hält, d.h., Mhalt akzeptiert die Eingabe c(M)w nicht, oder
• M auf w hält und nicht akzeptiert, d.h., Mu akzeptiert die Eingabe c(M)w
nicht.
Also gilt: w ∈ L(Mcode) genau dann, wenn w = c(M) und w /∈ L(M); oder kürzer:
L(Mcode) = Lcode, ein Widerspruch.
Korollar 1. Das Problem, ob eine TM nicht hält, ist nicht semi-entscheidbar. D.h.,
die Sprache Lhalt ist nicht rekursiv-aufzählbar.
Beweis. Das folgt aus Satz ??? : falls Lhalt und Lhalt rekursiv-aufzählbar wären,
wäre Lhalt rekursiv.
5.3 Weitere unentscheidbare Probleme
Wir zeigen jetzt weitere Probleme, die nicht entscheidbar sind. Wir benutzen ständig
die Codierung c(M) von (deterministischen und nichtdeterministischen) Turingmaschinen
M aus Kapitel 5.1. Auch alle Modifikationen von Turingmaschinen mit
Bandalphabet {0, 1} aus Abschnitt 3.2 sind damit codiert. Falls M z.B. eine nichtdeterministische
k-Band TM ist, bezeichnen wir mit c(M) den Code einer 1-Band-
TM, die M simuliert. Auch für jeden Kellerautomaten erhalten wir eine Codierung,
in dem Sinne, dass wir ihn mit einer nichtdeterministischen 2-Band TM simulieren
(Beispiel 3 in Kapitel 3.4) und den Code der TM verwenden.
Wir werden eine TM, die auf jede Eingabe hält und die Sprache L akzeptiert, kurz
Algorithmus für L nennen.
5.3.1 Das Akzeptanzproblem
Erinnern wir uns an den CYK-Algorithmus (Kapitel 2.8), der für jede kontextfreie
Grammatik G mit Terminalsymbolen aus {0, 1} und jedes Wort w über {0, 1}
entscheidet, ob w in L(G) liegt. Daraus folgt, dass das Akzeptanzproblem für Kellerautomaten
entscheidbar ist; mit anderen Worten haben wir einen Algorithmus,
der für jeden Kellerautomaten M und jedes Wort w entscheidet, ob M das Wort w
akzeptiert. Oder kürzer: die Sprache
L (K)
acc = {u; u = c(M)w für einen Kellerautomaten M und ein Wort w aus L(M)}
ist rekursiv. In der Tat kann ein Algorithmus, der L (K)
acc entscheidet, wie folgt konstruiert
werden:
1. Wir überprüfen, ob die Eingabe u die Form u = c(M)w, wobei M ein Kellerautomat
ist, hat – vergleiche die Bemerkung in 5.1.
2. Für den gegebenen Kellerautomaten M konstruieren wir eine kontextfreie
Grammatik G(M), die die Sprache L(M) erzeugt.
3. Der CYK-Algorithmus wird auf G(M) und w angewendet.
Falls also M0 eine TM ist, die diesen Algorithmus repräsentiert, gilt L (K)
acc = L(M0).
Im Kontrast hierzu zeigen wir jetzt, dass das Akzeptanzproblem für Turingmaschinen,
also die Frage, ob eine gegebene Turingmaschine ein gegebenes Eingabewort
akzeptiert, unentscheidbar ist. Kürzer: die Sprache
Lacc = {u; u = c(M)w für eine Turingmaschine M und ein Wort w aus L(M)}