Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

176 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
Satz 2. Jedes Matching, für das es keinen erweiternden Weg gibt, ist maximal.
Beweis. Mit anderen Worten sollen wir für jedes Matching M zeigen, dass, falls es
ein größeres Matching M ∗ gibt, M einen erweiternden Weg hat.
Sei G der Graph, dessen Knoten die Knoten von G sind und dessen Kanten alle
Kanten in
(M − M ∗ ) ∪ (M ∗ − M)
sind, d.h. alle Kanten, die in genau einem der Matchings M und M ∗ liegen. Jeder
Knoten von G liegt auf höchstens zwei Kanten. Das bedeutet, dass G eine disjunkte
Vereinigung von Zyklen und (maximalen) Wegen ist. Da sich in jedem Zyklus die
Kanten von M und M ∗ abwechseln, gilt: in jedem Zyklus ist die Zahl von Kanten
aus M gleich der Zahl der Kanten aus M ∗ . Andererseits hat G mehr Kanten aus M ∗
als aus M, da M ∗ mehr Elemente als M enthält. Es gibt also einen maximalen Weg
W in G, auf dem mehr Kanten aus M ∗ als aus M liegen. Das bedeutet, dass beide
Endkanten von W in M ∗ liegen. Da der Weg W maximal ist, sind seine Endknoten
frei im Matching M. Also ist W ein erweiternder Weg für M.
Algorithmus für MAXIMALES MATCHING
Eingabe: Ungerichteter Graph G = (V, E)
Ausgabe: Maximales Matching M ⊆ E
1: Initialisierung M := ∅
2: while ein erweiternder Weg W für M existiert do
3: M := M ′ für M ′ aus Satz 1
4: od
Korrektheit: folgt aus Satz 1 und 2. Am Ende des while-Zyklus (der aufgrund von
Satz 1 konvergiert) hat M keinen erweiternden Weg und ist also maximal.
Zeitkomplexität: hängt natürlich von der Zeitkomplexität des Suchen des erweiternden
Weges in Zeile 2 ab. Es sind Algorithmen bekannt, die für Graphen mit
n Knoten und k Kanten die Zeitkomplexität O(nk) haben. Dann hat der ganze
Algorithmus oben Zeitkomplexität O(nk).
Beispiel 4 (MAXFLOW). Das Problem MAXIMALES MATCHING ist ein Spezialfall
des MAXFLOW Problems: gegeben seien ein gerichteter Graph G und zwei
Knoten s (source) und t (target), wir suchen den maximalen Fluß Kanten-disjunkter
Wege von s nach t. (Die Wege dürfen also gemeinsame Knoten haben, aber keine
gemeinsamen Kanten.) Auch hier wird die Lösung mit Hilfe von erweiternden Wegen
berechnet. Gegeben ein Fluß H mit Wegen von s nach t, eine Kante von G
heißt frei, falls sie auf keinem Weg von H liegt. Ein erweiternder Weg für H ist
eine Liste
s = v0, v1, . . .,vn−1, vn = t
von Knoten von G, so dass für jedes i = 1, . . .,n gilt
• entweder ist (vi−1, vi) eine freie Kante von G, oder
• (vi, vi−1) ist eine unfreie Kante von G.
Wir erweitern H, indem alle freien Kanten (vi−1, vi) unfrei werden und alle unfreien
Kanten (vi, vi−1) frei werden.
Beispiel: Sei G der Graph und H der mit dickeren Linien gekennzeichneter Fluß wie
folgt: