Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

5.3. WEITERE UNENTSCHEIDBARE PROBLEME 127
u
EINGABE
Hat u die Form
u = c(M) für
eine TM M?
JA
c(M ′ ) wird
von ˆ M
berechnet.
TURINGMASCHINE Mε
Akzeptiert
c(M ′ )?
Malg Eingabe
JA
u akzeptiert
Akzeptiert Mu
die Eingabe
c(M ′ )?
NEIN
NEIN NEIN
u nicht akzeptiert u nicht akzeptiert u nicht akzeptiert
Die Maschine Mε hält auf jede Eingabe u: nur im letzten Schritt müssen wir aufpassen,
ob Mu auf die Eingabe c(M ′ ) hält (äquivalent: ob M ′ auf die Eingabe ε
hält) – das folgt daraus, dass Malg die Eingabe c(M ′ ) akzeptiert. Und eine Eingabe
u wird genau dann von Mε akzeptiert, wenn u = c(M) für eine Turingmaschine,
für die gilt: M ′ hält auf jede Eingabe und M ′ akzeptiert ε. Das ist äquivalent dazu,
dass M auf ε hält und akzeptiert. Also
Das steht im Widerspruch zu 5.3.2
5.3.4 Satz von Rice
u ∈ L(Mε) genau dann, wenn u = c(M) ∈ Lε.
Ist es entscheidbar, ob für eine Turingmaschine M die akzeptierte Sprache L(M)
ist?
• regulär,
• kontextfrei, oder
• nichtleer
Alle drei Antworten sind negativ. In der Tat gilt ein überraschend allgemeiner Satz
in diesem Gebiet. Sei S eine beliebige Eigenschaft formaler Sprachen (z.B. regulär,
kontextfrei, nicht leer, usw.) Wir fragen, ob es entscheidbar ist, dass eine TM eine
Sprache mit der Eigenschaft S akzeptiert. Kürzer, ob die Sprache
LS = {c(M); M ist eine TM und L(M) hat die Eigenschaft S}
rekursiv ist. Das ist selbstverständlich der Fall, falls S trivial ist, d.h.,
• entweder hat jede Sprache L(M) die Eigenschaft S, oder
• keine Sprache L(M) hat die Eigenschaft S.
Die drei oben erwähnten Eigenschaften sind bestimmt nicht trivial. Der folgende
Satz ergibt also die negativen Antworten:
Satz 1 (Satz von Rice). Für jede nichttriviale Eigenschaft S von Sprachen ist es
unentscheidbar, ob für eine Turingmaschine M die Sprache L(M) die Eigenschaft
S hat. Kürzer: die Sprache LS ist nicht rekursiv.
JA