Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

78 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
Diese Turingmaschine hält auf jede Eingabe (eine wichtige Eigenschaft, wie wir
später erfahren werden) und akzeptiert genau die Eingaben, deren letztes Symbol
0 oder 5 ist.
Definition. Für jede Turingmaschine M = (Q, Σ, δ, q0, F) bezeichnen wir mit
L(M)
die Sprache aller Wörter über Σ, die M akzeptiert.
Beispiel 3. Eine Turingmaschine, die die Sprache aller Wörter
[a n b n c n ] für n ≥ 1
über Σ = {a, b, c, [, ]} akzeptiert. (Diese Sprache ist nicht kontextfrei – beweisen sie
es!)
Wir simulieren den folgenden primitiven Algorithmus:
(i) lösche ein a und gehe nach rechts, solange ein a gelesen wird,
(ii) lösche ein b und gehe nach rechts, solange ein b gelesen wird,
(iii) lösche ein c und gehe nach links; am Ende:
(iv) akzeptiere genau dann, wenn alle Felder zwischen [ und ] leer sind.
Schritt (i) wird wie folgt implementiert:
1. (q0, [ ) → (q1,R)
2. (q1, a) → (q2, #)
3. (q2, #) → (q2,R)
4. (q2, a) → (q2,R)
Schritt (ii) analog:
5. (q2, b) → (q3, #)
6. (q3, #) → (q3,R)
7. (q3, b) → (q3,R)
und Schritt (iii) wie folgt:
8. (q3, c) → (q4, #)
9. (q4, x) → (q4,L) für x = #, a, b
10. (q4, [ ) → (q1,R)
11. (q1, #) → (q1,R)
Schritt (iv) entspricht der Situation, in der im Zustand q1 am Ende das Symbol ]
gelesen wird:
12. (q1, ] ) → (qF , ] )
Das heißt, dass die folgende TM:
M = ({q0, q1, q2, q3, q4, qF }, {a, b, c, [, ]}, δ, q0, qF),
mit δ durch 1. bis 12. gegeben, die Sprache {[a n b n c n ] ; n ≥ 1} akzeptiert.
Beispiel einer Berechnung: das Wort [aac] wird wie folgt berechnet:
(q0, [aac] ) ⊢ (q0, [aac] ) ⊢ (q1, [#ac] ) ⊢ (q1, [#ac] ) ⊢ (q1, [#ac] )
und die TM hält, denn es ist kein Übergang (q1, c) →? definiert. Das Wort [aac]
wird also nicht akzeptiert.