Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.3. BERECHNUNGSPROBLEME UND REDUZIERBARKEIT 143
Beispiel 2 (STARKE KOMPONENTEN). Zwei Knoten eines gerichteten Graphen
G können genau dann in beiden Richtungen durch einen gerichteten Weg verbunden
werden, wenn sie in einem Kreis des Graphen liegen. Wir sagen dann, dass die beiden
Knoten in derselben starken Komponente liegen.
Genauer: eine starke Komponente von G ist eine maximale Menge von Knoten,
die durch gerichtete Wege (in beiden Richtungen) miteinander verbunden werden
können. Beispiel: der folgende Graph
• b
a •
•
c
d •
•
e
•
f
hat drei starke Komponenten: {a, b, c}, {d, e} und {f}.
Aufgrund des Algorithmus aus Beispiel 5 in 6.1 können wir einen trivialen Algorithmus
finden, der für einen Graphen mit n Knoten und k Kanten in der Zeit
O(n 2 (n + k)) die starken Komponenten aufzählt: wir wählen einen Knoten v und
fragen für jeden Knoten w, ob ein Weg von v zu w sowie ein Weg von w nach v
führt. Das braucht O(2(n + k)) = O(n + k) Schritte für jeden Knoten w, also insgesamt
O(n(n + k)) Schritte. Damit wird die starke Komponente von v in der Zeit
O(n(n+k)) bestimmt. Außerdem gibt es höchstens n starke Komponenten, also ist
die gesamte Komplexität O(n 2 (n + k)).
Es existiert ein Algorithmus, der die starken Komponenten in linearer Zeit O(n+k)
berechnet. Diesen werden wir hier aber nicht vorführen.
Bemerkung 1. Starke Komponenten jedes Graphen G formen einen neuen gerichteten
Graphen G. Genauer, die Knoten von G sind die starken Komponenten v der
Knoten v von G. Und für zwei starke Komponenten v, w von G gilt:
(v, w) ist eine Kante von G genau dann, wenn v = w und ein gerichteter Weg von
v nach w führt in G.
Zum Beispiel ergibt sich aus dem obigen Graphen G der folgende Graph
• {a, b, c}
•
{d, e}
•
{f}
Es ist klar, dass der neue Graph G azyklisch ist (denn jeder Kreis von G kann zu
einem Kreis aus G ergänzt werden, der dann mehrere starke Komponenten verbinden
würde, das ist jedoch nicht möglich). Aufgrund von Beispiel 1 in 6.1 können
also die starken Komponenten jedes gerichteten Graphen so sortiert werden, dass
ord(v) ≤ ord(w) für jede Kante (v, w) von G.
Bemerkung 2. Wir wollen verschiedene Entscheidungsprobleme bezüglich ihrer
Komplexität vergleichen. Wann kann man sagen, dass ein Problem L ⊆ Σ ∗ nicht
schwieriger ist, als ein Problem L0 ⊆ Γ ∗ ? Falls wir eine Übersetzung f haben, die
alle Instanzen des ersten Problems (d.h., Wörter über Σ) in Instanzen des zweiten