Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

3.2. MODIFIKATIONEN VON TURINGMASCHINEN 79
3.2 Modifikationen von Turingmaschinen
Wir behaupteten in der Einleitung zu diesem Kapitel, dass Turingmaschinen zu
einer starken Leistung fähig sind. Das ist auf den ersten Blick nicht leicht zu erkennen.
Aber wir führen jetzt kompliziertere Maschinen ein, mit deren Hilfe schon recht
komplizierte Sprachen akzeptiert werden können. Anschließend zeigen wir, dass sich
alle diese neuen Maschinen auf den einfachen Fall reduzieren lassen. (Das ist keine
Überraschung: erinnern wir uns an die Churchsche These, die behauptet, dass sich
alle Berechnungsmodelle auf TM reduzieren lassen!)
3.2.1 TM mit mehreren finalen Zuständen
Wir können das Konzept der Turingmaschinen zu einer Maschine M = (Q, Σ, δ, q0,
F) verallgemeinern, die der obigen entspricht, nur ist F ⊆ Q eine Menge finaler
Zustände. Jede solche Maschine kann durch die folgende TM
M ′ = (Q ∪ {qF }, Σ, δ ′ , q0, qF)
simuliert werden: qF ist ein neuer Zustand, und δ ′ besteht aus allen Übergangsregeln,
die in δ enthalten sind, und zusätzlich werden in δ ′ noch die folgenden Regeln
(q, s) → (qF,s)
aufgenommen, wobei q ∈ F ein Zustand ist, für den δ(q, s) undefiniert ist. (Also
führen Haltekonfigurationen (q, s) von M, bei denen q final ist, zu Haltekonfigurationen
(qF,s) von M ′ .)
3.2.2 TM mit zusätzlichem Gedächtnis
Wir können die Definition einer TM so modifizieren, dass die Maschine in jedem
Schritt zusätzlich einen Zugriff auf ein Gedächtnis hat, wobei Symbole eines endlichen
Alphabets A = {a1, . . . , am} gespeichert werden. Die Übergangsfunktion δ
entscheidet jetzt aufgrund (1) des Zustandes, (2) des gelesenen Symbols aus Σ∪{#}
und (3) des gespeicherten Symbols aus A. Für Initialkonfigurationen nehmen wir
an, dass ein ausgewähltes Symbol a0 ∈ A gemerkt wird.
Beispiel 1. Die Sprache aller Wörter, deren erstes Symbol nie wieder vorkommt,
also
L = {s1 . . . sn ∈ Σ ∗ ; s1 = si für i = 2, . . .,n},
kann durch eine TM mit zusätzlichem Gedächtnis wir folgt akzeptiert werden: die
TM liest das erste Symbol und speichert es im Gedächtnis (also A = Σ, d.h., das
zusätzliche Gedächtnis kann ein Symbol aus Σ speichern). Dann vergleicht die TM
die anschließend gelesenen Symbole mit dem gespeicherten und hält und akzeptiert
nicht, falls sie eine Übereinstimmung feststellt. Sobald die TM das Blanksymbol
liest, hält sie und akzeptiert. Diese TM braucht nur zwei Zustände: q0, initial und
final, in dem s1 gespeichert wird, und q1, in dem nach rechts gegangen und mit dem
Speicher verglichen wird.
Bemerkung 1. Eine TM mit zusätzlichem Gedächtnis ist eigentlich eine TM in
dem vorher definierten Sinne, deren Zustandsmenge das kartesische Produkt
Q × A
ist (d. h. die Menge aller Paare (q, a), wobei q ein Zustand und a ∈ A ist). Die
Übergänge der Maschine sind also von (q, a) ∈ Q × A und s ∈ S abhängig. Der
Initialzustand ist (q0, a0), und alle Zustände (qF , a), a ∈ A, sind final.
Zum Beispiel gilt für die Maschine aus Beispiel 1 in Abschnitt 3.1, dass A = Σ (mit
s0 ∈ Σ beliebig gewählt) und die Zustandsmenge
Q = {q0, q1} × Σ = {(qi, s); i = 0, 1 und s ∈ Σ}