Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

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174 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN 6.10 Komplexität von Optimierungsproblemen Viele Probleme sind weder als Entscheidungsprobleme, noch als Berechnungsprobleme zu verstehen, sondern als Probleme, die für einen maximalen (oder minimalen) Wert eines Parameters eine Konstruktion verlangen. Solche Maximierungs- oder Minimierungsprobleme heißen Optimierungsprobleme. Beispiel 1 (MINIMALE FÄRBUNG). Eingabe: Ungerichteter Graph G Ausgabe: Eine Färbung von G mit minimaler Zahl von Farben. Gibt es eine effiziente Lösung dieses Problems? Bestimmt nicht (falls P = N P), denn jeder Algorithmus für MINIMALE FÄRBUNG kann natürlich 3-FÄRBUNG lösen. Für jedes Minimierungsproblem M haben wir das zugrunde liegende Entscheidungsproblem, dessen Eingabe ein Paar (x, y) ist, wobei x die Eingabe von M und y eine Zahl ist. Die Entscheidung lautet: hat P eine Lösung der Eingabe x mit einem Parameter ≤ y? Es ist klar, dass ein Minimierungsproblem, das eine effiziente Lösung hat, die Eigenschaft hat, dass das zugrunde liegende Entscheidungsproblem zu P gehört. Analoges gilt für Maximierungsprobleme. Beispiel 2 (MAXIMALES MATCHING). Eingabe: Ungerichteter Graph G Ausgabe: Eine maximale Menge von Kanten, die voneinander disjunkt sind. Dies ist ein Optimierungsproblem mit vielen praktischen Anwendungen. Der Name stammt von der Anwendung, wobei eine Gruppe von Männern und Frauen die Knotenmenge von G formen und eine Kante einen Mann x mit einer Frau y genau dann verbindet, wenn sie ein potentielles Paar formen. Die Aufgabe ist dann, die größte Menge von aktuellen Paaren zu bilden, für die kein(e) Teilnehmer(in) mehrmals auftritt. Dieser Graph ist offensichtlich 2-färbbar; oft wird das MAXIMALE MATCHING Problem nur für 2-färbbare Graphen untersucht. Es gibt einen effizienten Algorithmus, der MAXIMALES MATCHING löst. Die Grundidee ist, dass jedes Matching M durch einen erweiternden Weg verbessert werden kann. Für das gegebene Matching M heißt eine Kante des Graphen G frei, falls sie nicht in M liegt, und ein Knoten heißt frei, falls er kein Endknoten einer Kante in M ist. Definition. Für ein Matching M im Graphen G heißt ein Weg in G erweiternd, falls seine Endknoten frei sind und seine Kanten abwechselnd frei und unfrei sind. Beispiel 3. Im Graphen G hat das Matching M: x1 x2 x3 x4 x5 • • y1 • • • • y2 • y3 • y4 • • y5
6.10. KOMPLEXITÄT VON OPTIMIERUNGSPROBLEMEN 175 x1 • • y1 x2 • • y2 x3 • • y3 x4 • • y4 x5 • • y5 den folgenden erweiternden Weg: x4, y1, x1, y2, x2, y3, x3, y4. Satz 1. Falls ein Matching M einen erweiternden Weg W hat, gibt es ein größeres Matching M ′ , das aus M dadurch ensteht, dass die freien und unfreien Kanten von W ausgetauscht werden. Beweis. M ′ ist ein Matching, denn für die inneren Knoten x des Weges W gibt es genau eine Kante in M, auf der x liegt, und die wird in M ′ mit genau einer Kante von W ausgetauscht. Für die beiden Endknoten von W (die in M frei sind) gibt es auch genau eine Kante in M ′ . Da beide Endknoten des Weges W frei sind, hat W mehr freie als unfreie Kanten, also hat M ′ mehr Kanten als M. Im obigen Beispiel erhalten wir das Matching x1 x2 x3 x4 x5 • • y1 • • • • y2 • y3 • y4 • Dieses Matching hat immer noch erweiternden Wege, etwa x5, y2, x1, y5, oder auch x5, y3, x2, y2, x1, y5. Diese liefern die neuen Matchings x1 x2 x3 x4 x5 • • y1 • • y2 • • y3 • • y4 • • y5 bzw. • y5 x1 x2 x3 x4 x5 • • y1 • • y2 • • • y3 • y4 • • y5 für die es keine erweiternden Wege mehr gibt – deshalb sind sie maximal:
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