Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

4.3. GRAMMATIKEN UND TURINGMASCHINEN 107
2. Sei w = s1 . . . sn ein Wort, das von S ableitbar ist. Wir haben eine Ableitung
der Form
S ⇒ [qF#] ⇒ w1 ⇒ w2 ⇒ . . . ⇒ wM = s1 . . . sn.
Wir dürfen annehmen, dass die Regeln (7) und (8) (die bestimmt angewendet
wurden, da w1 die beiden Klammern enthält, aber wM nicht) erst am Ende
der Ableitung angewendet wurden, also wM−2 = [q0s1 . . .sn]. Für die Ableitung
w1 ⇒ ∗ wM−2 wurden nur die Regeln (1) - (6) angewendet. Es ist also
hinreichend, zu zeigen, dass, falls für zwei Konfigurationen w und w ′ , w ′ ⊢ w
aufgrund von (1) - (6) gilt, dann folgt daraus w ⊢ w ′ .
(a) Falls die Produktion (1) angewendet wurde, gilt w ′ = [uq ′ s ′ v] und w =
[uqsv], wobei qs → q ′ s ′ eine Übergangsregel ist. Dann ist w ′ eine
Folgekonfiguration von w.
(b) Falls die Produktion (2) angewendet wurde, gilt w ′ = [usq ′ v] und w =
[uqsv]. Wieder ist w ′ eine Folgekonfiguration von w.
(c) Falls die Produktion (3) angewendet wurde, gilt w ′ = [usq ′ #] und w =
[uqs], und auch diesmal ist w ′ eine Folgekonfiguration von w. Analog mit
den Produktionen (4) und (5).
Also für w1 = [qF#] und wM−2 = [q0s1 . . . sn] folgt aus w1 ⇒ ∗ wM−2, dass
wM−2 ⊢ ∗ w1. Das bedeutet, dass die TM auf die Eingabe s1 . . . sn hält und
akzeptiert. Also gehört s1 . . . sn zu L(M).
Korollar 1. Für jede rekursiv-aufzählbare Sprache L gibt es eine Grammatik, die
L erzeugt.
Beweis. Es gibt eine TM, die L akzeptiert. Sei M eine Modifikation dieser TM,
die sich nur dadurch unterscheidet, dass M ihr Band löscht, bevor sie hält. Dann
gilt
L = L(M) = L(GM).
Beispiel 4. Die folgende TM akzeptiert die Sprache aller ungeraden Zahlen (über
Σ = {|}):
M = ({q0, q1, q2}, {|}, δ, q0, qF)
mit Übergängen
(q0, |) → (q1, #)
(q1, #) → (qF,R)
(qF,|) → (q2, #)
(q2, #) → (q0, R)
Dieser TM entspricht die folgende Grammatik
GM = ({|}, {q0, q1, q2, #, [, ], S}, S, R)
mit den Produktionen
S → [qF#]
q1# → q0|
#qF → q1#
#qF#] → q1#]
q2# → qF |
#q0 → q2#
#q2#] → q2#]
[q0 → ε
] → ε
Satz 2. Jede von einer Grammatik erzeugte Sprache ist rekursiv-aufzählbar.