Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

110 KAPITEL 4. CHURCHSCHE THESE
Algorithmus durchgeführt werden: wir berechnen die Menge M aller Knoten z, für
die ein Pfad von x nach z führt wie folgt. Initialwert: M := {x}. Rekursiv setzen wir
M := M ∪E(M), wobei E(M) die Menge aller Endknoten w der Kanten (v, w) ∈ E
mit v ∈ M bezeichnet. Der Algorithmus endet, wenn M nicht mehr wächst, und
dann ist die Antwort genau dann JA, wenn y ∈ M ist.
Satz 2. Jede kontextsensitive Sprache ist rekursiv.
Beweis. Für jede kontextsensitive Grammatik G wollen wir einen Algorithmus finden,
der für ein beliebiges Wort w entscheidet, ob w in L(G) liegt. Keine Ableitung
von w benutzt Wörter länger als n, der Länge von w. Es genügt also, einen Graphen
zu konstruieren, dessen Knoten alles Wörter über Σ ∪ V einer Länge ≤ n sind und
genau die Relation ⇒ zwischen diesen Wörtern formen. Dieser Graph lässt sich mit
einem einfachen ” brute-force“-Algorithmus konstruieren, der alle möglichen Produktionskombinationen
durchgeht. Jetzt reicht es, einen Algorithmus zu benutzen,
der entscheidet, ob im Graph ein Pfad von S zu w führt.
Schlussbemerkung. Die folgende Hierarchie von Klassen von Sprachen, die ε nicht
enthalten, heißt Chomsky-Hierarchie:
regulär ⊂ kontextfrei ⊂ kontextsensitiv ⊂ rekursiv ⊂ rekursiv-aufzählbar.
Jede dieser Sprachklassen ist ein echter Teil der nächst höheren: die Sprache {0 n 1 n ;
n ≥ 1} ist kontextfrei, aber nicht regulär (siehe 1.8 und 2.1), die Sprache {a n b n c n ;
n ≥ 0} ist kontextsensitiv, aber nicht kontextfrei. Im nächsten Kapitel zeigen wir
eine Sprache Lhalt, die rekursiv aufzählbar, aber nicht rekursiv ist. Es gibt auch
rekursive Sprachen, die nicht kontextsensitiv sind, das beweisen wir aber nicht.
4.5 Rekursive Funktionen
Berechenbare Funktionen können auch ganz anders modelliert werden, als mit Maschinen,
die sie berechnen: wir gehen von sehr einfachen Funktionen (z.B. den konstanten
Funktionen und der Nachfolgerfunktion succ) aus und wenden dann Rekursion
und Verknüpfung an. Wir erhalten eine sehr reiche Kollektion von Funktionen,
die primitiv-rekursiv heißen. Es zeigt sich, dass jede primitiv-rekursive Funktion
Turing-berechenbar ist. Leider gilt die umgekehrte Aussage nicht: es gibt Turingberechenbare
Funktionen, die nicht primitiv-rekursiv sind. Deshalb wird noch ein
Minimierungsoperator µ eingeführt. Funktionen, die sich mit primitiver Rekursion
und Minimierung ableiten lassen, heißen rekursiv (oder auch µ-rekursiv). Daraus ergibt
sich eine neue Charakterisierung von Turing-berechenbaren Funktionen: es sind
genau die rekursiven Funktionen. Das ist eine weitere Bestätigung der Churchschen
These.
Wir wollen also erst aus einfachen Funktionen, die Basisfunktionen heißen, mit Hilfe
von Verknüpfung und Rekursion weitere Funktionen definieren. Die Fakultätsfunktion
definiert man z.B. rekursiv mit Multiplikation, die Multiplikation wiederum
rekursiv mit Addition und die Addition rekursiv mit der Nachfolgerfunktion succ.
Hier endet aber diese Kette: succ ist eine der Basisfunktionen. Wir arbeiten hier
mit k-stelligen Funktionen natürlicher Zahlen, d.h. mit Funktionen
k k f : → , wobei = × · · · × (k-mal), für k = 1, 2, 3, . . ..
f hat also k Variablen im Bereich
. Die konstante Funktion Ki mit
Ki(n) = i für alle n
gilt als 0-stellig, da sie von keiner Variablen abhängt. Nicht-konstante Funktionen
sind k-stelllig für k ≥ 1.
Besonders einfache k-stellige Funktionen sind die Projektionen πk 1 , . . . , πk k
jektion πk i ordnet jedem k-Tupel sein i-tes Element zu,
: die Pro