Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.11. APPROXIMATION VON OPTIMIERUNGSPROBLEMEN 183
Anderseits dauern alle n Aufgaben insgesamt t1 + · · · + tn Zeiteinheiten. Die optimale
Zuordnung ergibt einen Zeitbedarf von Topt Zeiteinheiten, dabei sind die k
Maschinen maximal kTopt Zeiteinheiten aktiv (falls alle die ganze Zeit beschäftigt
sind). Daraus folgt
(6) kTopt ≥ t1 + · · · + tn.
Dann gilt
(7) Topt ≥ t1 + · · · + tn
k
Die Kombination von (5) und (7) ergibt
T − Topt ≤ t1 + · · · + ti−1
k
Aus (2) wissen wir, dass ti ≤ tr (denn i > r), also
(8) T − Topt ≤ tr.
≥ t1 + · · · + ti−1
.
k
+ ti − t1 + · · · + ti−1
k
Jetzt benutzen wir (6) nochmals: da t1 ≥ t2 · · · ≥ tn, gilt
Topt ≥ t1 + · · · + tn
k
und kombiniert mit (8), bekommen wir
(9)
Da r ≥ k
ε
T − Topt
Topt
≥ t1 + · · · + tr
k
≤ tr
r·tr
k
= k
r .
≥
r · tr
k
= ti
k ist, folgt r ≤ ε, also ist (9) die gewünschte Ungleichung.
Satz 1. Für kein ε > 0 gibt es einen ε-approximierenden Algorithmus für TSP,
falls P = N P.
Beweis. Wir wissen, dass HAMILTONSCHER KREIS ein N P-vollständiges Problem
ist. Wir beweisen, dass wir einen Algorithmus A der Klasse P für HAMIL-
TONSCHER KREIS finden können, falls ein ε-approximierender Algorithmus Aε
für TSP gegeben ist – es folgt, dass P = N P. Ein ungerichteter Graph G als Eingabe
wird von A wie folgt bearbeitet:
Der Algorithmus Aε wird auf das TSP angewendet mit n Städten und
1 falls (i, j) eine Kante von G ist
di,j =
2 + ⌈εn⌉ falls nicht,
wobei ⌈εn⌉ die kleinste ganze Zahl ≥ εn ist. Bezeichnen wir mit c die Kosten der
Tour, die Aε findet. Der Algorithmus A liefert die Antwort
JA genau dann, wenn c ≤ (1 + ε)n.
Korrektheit des Algorithmus A: wir beweisen
In der Tat:
G hat einen Hamiltonschen Kreis ⇐⇒ c ≤ (1 + ε)n.