Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

138 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
Jeder Knoten hat einen (leeren) Weg der Länge 0 zu sich selbst.
Seien ein gerichteter Graph G und zwei Knoten v und w gegeben, dann entscheiden
wir in linearer Zeit O(n+k), ob ein Weg von v nach w führt. Sei M die Menge aller
Knoten zu denen ein Weg von v führt.
Algorithmus für gerichteter Weg
Eingabe: Ein gerichteter Graph G = (V, E) und zwei Knoten v und w
Augabe: JA, falls ein gerichteter Weg von v nach w führt, ansonsten NEIN
{Initialisierung:}
M := {v}
{Rekursionsschritt:}
while eine Kante (x, y) mit x ∈ M und y /∈ M existiert do
M := M ∪ {y}
E := E − {(x, y)}
od
{Ausgabe:}
JA, falls w ∈ M, NEIN falls w ∈ M.
Zeitkomplexität: Falls der Graph mit Adjazenzlisten implementiert ist, dauert dieser
Algorithmus O(n + k) Schritte, denn jede Liste wird höchstens einmal durchsucht.
6.2 Komplexitätsklasse P
Alle Probleme, die ein Rechner mit polynomialer Zeitkomplexität lösen kann, formen
die Klasse P. Genauer: ein Entscheidungsproblem gehört zu P, falls es einen
Algorithmus gibt, der für jede Eingabe der Länge n in höchstens p(n) Zeiteinheiten
entscheidet, ob die Antwort JA oder NEIN ist, wobei p(n) ein (gegebenes) Polynom
ist. Es entsteht die Frage: welche Implementierung haben wir hier im Sinn?
Die Antwort ist: die Klasse P ist von der Implementierung unabhängig. Verschiedene
Implementierungen können natürlich verschiedene Zeitkomplexitäten haben
(wie im Fall des TOPOLOGISCHEN SORTIERENS in 6.1 gezeigt wurde); d.h.,
das Polynom p(n) wird für jede Implementierung individuell gewählt werden. Aber
die Existenz eines Polynomes ist unabhängig von der Implementierung. Das zeigen
wir, indem wir Turingmaschinen als Implementierungsmodell nehmen und dann beweisen,
dass dieselbe Klasse P auch z.B. mit RAM als Modell entsteht. Der Beweis
für andere Berechnungsmodelle folgt analog.
Definition. Wir sagen, dass eine deterministische TM eine Zeitkomplexität t(n)
hat, wobei t(n) eine Funktion aus der Menge ist, falls die TM für jede Eingabe
der Länge n in höchstens t(n) Schritten hält.
Beispiel 1. Die Sprache L ⊆ {0, 1} ∗ aller Wörter, die keine zwei benachbarten
Einsen enthalten, kann von der folgenden TM akzeptiert werden: M bleibt solange
im Initialzustand q0, wie sie Nullen liest, also (q0, 0) → (q0, R). Falls M eine 1 liest,
geht sie in den Zustand q1 über: (q0, 1) → (q1, R). Falls nach der 1 gleich eine 0
folgt, gehen wir zurück zum Zustand q0, falls aber noch eine 1 gelesen wird, hält
die Maschine im (nichtfinalen) Zustand q1. Und falls das Blanksymbol gelesen wird,
hält die Maschine im finalen Zustand qF. Hier ist eine vollständige Beschreibung
von M:
M = ({q0, q1, qF }, {0, 1}, δ, q0, qF)