Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

3.5. BERECHENBARE FUNKTIONEN 95
(q0, |) → (q1, #)
(q0, #) → (qF,R)
(q1, #) → (q2, R)
(q2, |) → (q2, R)
(q2, #) → (qF,|)
Genauer, die TM
M = ({q0, q1, q2, qF }, {|}, δ, q0, qF)
mit der oben definierten Übergangsfunktion δ berechnet die Addition in unärer
Darstellung.
Beispiel 4. Multiplikation. Die Funktion
f(n, m) = n ∗ m (unär dargestellt)
kann von der folgenden 2-Band-TM berechnet werden:
Band 1 ist das Eingabeband, aus Band 2 schreibt die Maschine n-mal hintereinander
die Zahl m, das heißt, m Symbole ” |“. Dann hält sie und hat auf Band 2
(Ausgabeband) die Zahl n ∗ m.
Definition. Eine Funktion (einer oder mehrerer Variablen) von Σ ∗ nach Γ ∗ heißt
berechenbar oder Turing-berechenbar, falls sie durch eine TM berechnet werden
kann.
Beispiele 1. f(n) = 2n, f(n, m) = n + m, f(n, m) = n ∗ m und die Funktion
f : Σ ∗ → N, die die Länge berechnet, sind berechenbar.
Bemerkung. 4. Wer der Churchschen These glaubt, erwartet, dass jede durch
einen (terminierenden) Algorithmus gegebene, voll-definierte Funktion durch
eine TM berechenbar sein muss: man implementiert einfach den Algorithmus
auf einer TM.
5. Für partiell definierte Funktionen f : Σ ∗ → Γ ∗ können wir auch den Begriff
von Berechnung durch eine TM einführen: die Situation, bei der f(w) nicht
definiert ist, entspricht der Berechnung der Eingabe w, wobei die TM nicht
hält:
Definition. Eine TM berechnet die partielle Funktion f : Σ ∗ → Γ ∗ , falls ihr Eingabealphabet
Σ ∪ Γ enthält und die TM auf jede Eingabe w aus Σ ∗ genau dann hält,
wenn f(w) definiert ist, und sie dann den Bandinhalt f(w) hat. Solche Funktionen
heißen partiell-berechenbar.
Beispiel 5. Division. Die Funktion
n : m (ganzzahlig) falls m = 0
f(n, m) =
undefiniert falls m = 0
kann von der folgenden 2-Band-TM berechnet werden: Band 1 ist das Eingabeband,
auf Band 2 schreibt die TM erst n und dann versucht sie, m Striche auf Band 2
” wegzuwischen“. Falls dies nicht möglich ist, hält sie. Falls es jedoch möglich ist,
versucht die Maschine erneut, m Striche auf Band 2 zu löschen und so weiter.
Beispiel 6. Eine unberechenbare Funktion β : →
Diese Funktion, die als ” busy beaver“ (fleißiger Biber) bekannt ist, ist wie folgt
definiert:
β(0) = 0
und für jedes n > 0 ist
β(n) = k,
.