Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

112 KAPITEL 4. CHURCHSCHE THESE
Allgemeiner:
Definition. Wir sagen, dass eine k-stellige Funktion f(n1, . . .,nk) durch primitive
Rekursion mit Hilfe einer (k − 1)-stelligen Funktion g und einer (k + 1)-stelligen
Funktion h definiert ist, falls für alle n1, . . . , nk−1, m ∈ gilt
f(n1, . . . , nk−1, 0) = g(n1, . . .,nk−1) und
f(n1, . . . , nk−1, m + 1) = h(n1, . . . , nk−1, m, f(n1, . . . , nk−1, m)).
Beispiel 4. Addition. Es gilt
n + 0 = n
und
n + (m + 1) = succ(n + m).
Also ist add(n, m) = n + m durch primitive Rekursion mit
g(n) = n = π 1 1(n)
und
h(n, m, i) = succ i = succ(π 3 3(n, m, i))
definiert. In der Tat gilt
add(n, 0) = g(n)
add(n, m + 1) = h(n, m, add(n, m)).
Beispiel 5. Die Multiplikation ist die (primitiv-)rekursive Funktion:
n ∗ 0 = 0
n ∗ (m + 1) = (n ∗ m) + m.
Genauer: für mal(n, m) = n ∗ m definieren wir
g(n) = K0
und
h(n, m, i) = add(m, i) = add(π3 2 (n, m, i), π3 3 (n, m, i)).
Dann gilt
mal(n, 0) = g(n)
mal(n, m + 1) = h(n, m, mal(n, m)).
Definition. Eine Funktion heißt primitiv-rekursiv, falls sie durch endlich viele
Anwendungen von Verknüpfung und primitiver Rekursion auf die Basisfunktionen
definiert werden kann.
Mit anderen Worten ist die kleinste Klasse von Funktionen, die alle Basisfunktionen
enthält und unter Verknüpfung und primitiver Rekursion abgeschlossen ist, die
Klasse aller primitiv-rekursiver Funktionen.
Beispiele: Kn, f(n) = n + 2, g(n, m) = m + 2, add(n, m) und mal(n, m) sind
primitiv-rekursiv.
Beispiel 6. Die Fakultätsfunktion m! ist primitiv-rekursiv, da sie mit der folgenden
primitiven Rekursion definiert werden kann:
0! = 1
(m + 1)! = mal(m + 1, m!).
Hier ist also g = K1 und h(x, y) = mal(x + 1, y) = mal(succ(π2 1 (x, y), π2 2 (x, y)). Da
g und h beide primitiv-rekursiv sind, ist auch m! primitiv-rekursiv.
Beispiel 7. Die Vorgängerfunktion in der Form
0 falls n = 0
f(n) =
n − 1 falls n > 0
ist primitiv-rekursiv:
f(0) = 0 = K0
f(n + 1) = n = π2 1 (n, f(n)).
Also g = K0 und h(n, m) = π2 1(n, m).