Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

102 KAPITEL 4. CHURCHSCHE THESE
4.2 RAM-Berechenbarkeit
Definition. Eine RAM berechnet eine Funktion f(n1, n2, . . . , nk), deren Variablen
und Werte in liegen, falls die RAM auf die Eingabe n1, n2, . . . , nk hält und auf dem
Ausgabeband m (nur eine Zahl) steht, wobei f(n1, . . .,nk) = m. Eine Funktion, die
von einer (geeignet programmierten) RAM berechnet werden kann, heißt RAMberechenbar.
Beispiel 1. Die Funktionen
f(n, m) = n + m und f(n, m) = n ∗ m
sind RAM-berechenbar.
Das Programmieren von RAMs ist zwar im Vergleich zu modernen Programmiersprachen
aufwendig und kompliziert, trotzdem ist es nicht schwer zu zeigen, dass
jede Funktion, die sich mit einem PASCAL-Programm berechnen lässt, auch in einer
RAM programmiert werden kann.
Obwohl Turingmaschinen weniger realistisch als RAMs sind (und viel einfacher),
sind sie keineswegs schwächer:
Satz 1. Jede RAM-berechenbare Funktion ist Turing-berechenbar.
Beweis. Wir haben ein RAM-Programm für die Funktion f(a1, . . .,ak), und wir
simulieren es mit einer 6-Band TM mit zusätzlichem Gedächtnis wir folgt:
Band 1 (Eingabeband)
Band 2 (Speicher)
Band 3 (Akkumulator)
Band 4 (Befehlszähler)
Band 5 (Hilfsband)
Band 6 (Ausgabeband)
$ a1 $ a2 $ . . . ak $
$ $ 1 $ $$ 2 $ $ $
f(a1, . . . , ak)
Die TM hat also das Bandalphabet Σ = {|, $}, und die Eingabe der RAM wird
mit Trennungssymbolen $ auf Band 1 geschrieben. Band 2 enthält den Speicher
der RAM: falls Register Ri benutzt wurde und momentan n enthält, finden wir auf
Band 2 die Kombination
$ $ i $ n $$, was = n bedeutet.
(Wir können aber mehrere solcher Kombinationen mit demselben i auf Band 2
finden. In diesem Fall nehmen wir nur die, die am weitesten rechts steht). Band
3 enthält den Inhalt des Akkumulators und Band 4 den des Befehlszählers. Band
6 ist das Ausgabeband. Das (endliche) Programm der RAM ist im zusätzlichen
Gedächtnis der TM gespeichert.
Anfang der Simulation: Alle Bänder außer Band 1 sind leer. Speziell wird Befehl
Nr. 0 (= 0) simuliert.
Simulation der Befehle: Es wird immer der Befehl, dessen Zeilennummer auf Band
4 steht, simuliert. Wir zeigen einige Beispiele:
READ Auf Band 1 steht der Kopf unter $, jetzt bewegt er sich, bis er auf dem
nächsten $ stehen bleibt, wobei die Zahl ai auf Band 3 geschrieben
wird. Danach wird der Befehlszähler (Band 4) um 1 erhöht.
STORE i Auf Band 2 wird nach dem letzten Symbol $ die Kombination i $ n $
$ geschrieben, wobei n der Inhalt des Akkumulators (Band 3) ist.
. . .