Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.2. KOMPLEXITÄTSKLASSE P 141
Beispiel 5 (2-ERFÜLLBARKEIT und 3-ERFÜLLBARKEIT). Analog zu der Situation
der 2-Färbung und 3-Färbung haben wir hier ein anderes wichtiges Beispiel
der Probleme, deren leichtere Variante zu P gehört und deren schwierige
(wahrscheinlich) nicht. Es handelt sich um Boolesche Formeln über den Variablen
x1, . . .,xn. Die einfachsten Formeln sind die Variablen xi selbst und ihre Negationen
¬xi - diese Formeln heißen Literale. Die komplizierteren Formeln werden mit
Hilfe der üblichen logischen Operationen, z.B. Konjunktion ∧, Disjunktion ∨ und
Implikation → erzeugt.
Jede Disjunktion von Literalen heißt Klausel.
Beispiele:
x ∨ y ∨ ¬z und ¬x.
Jede Boolesche Formel phi hat eine konjunktive Normalform (KNF), d.h., φ =
φ1 ∧φ2 ∧ · · · ∧φn ist eine Konjunktion der Klauseln φ1, . . . , φn. Z.B. hat die Formel
φ = (x → y ∧ z) ∧ (¬x → ¬z)
die folgende KNF: wir benutzen die Äquivalenz von
und erhalten
a → b und ¬a ∨ b
φ = (¬x ∨ (y ∧ z)) ∧ (x ∨ ¬z)
Da ¬x ∨ (y ∧ z) äquivalent zu (¬x ∨ y) ∧ (¬x ∨ z) ist (de Morgansches Gesetz), gilt
φ = (¬x ∨ y) ∧ (¬x ∨ z) ∧ (x ∨ ¬z).
Das ist also eine Boolesche Formel, deren Klauseln je zwei Literale enthalten.
Eine Formel φ heißt erfüllbar, falls die Variablen so mit true oder false belegt
werden können, dass φ den Wert true annimmt. Beispiel: die obige Formel ist
erfüllbar, denn für
x = true, y = true, z = true
gilt φ = true.
Es ist kein effizienter Algorithmus bekannt, der für jede Boolesche Formel unterscheidet,
ob sie erfüllbar ist. Das Problem m-ERFÜLLBARKEIT ist: Gegeben,
eine Boolesche Formel φ in konjunktiver Normalform, wobei jede Klausel m Literale
enthält, ist φ erfüllbar? Wir definieren die Größe der Eingabe φ als n + k, wobei
n die Anzahl aller Variablen und k die Anzahl aller Klauseln von φ ist.
2-ERFÜLLBARKEIT gehört zur Klasse P. Wir könnten hier einen effizienten Algorithmus
angeben, aber einfacher ist es zu zeigen (in Abschnitt 6.3), dass es eine
effiziente Reduktion dieses Problems auf ein anderes Problem der Klasse P gibt –
daraus folgt dann indirekt, dass 2-ERFÜLLBARKEIT zur Klasse P gehört.
3-ERFÜLLBARKEIT ist dagegen schwierig: in Abschnitt 6.4 zeigen wir, dass dieses
Problem N P-vollständig ist, also genauso schwierig wie 3-FÄRBUNG.
Beispiel 6 (UNIVERSALITÄT REGULÄRER AUSDRÜCKE). Das ist ein (rares)
Beispiel eines leicht zu formulierenden Problems, für das bewiesen wurde, dass es
nicht effizient lösbar ist. Reguläre Ausdrücke haben wir in Kapitel 1 eingeführt: sie
werden aus Buchstaben des Alphabets Σ, z.B. Σ = {a, b}, und Symbolen ∅ und ɛ mit
Hilfe der Operatoren +, ·, und ∗ erzeugt. Jetzt arbeiten wir mit komprimierter
Notation: statt xx . . . x (n-mal) schreiben wir x ↑ n (n binär), z.B.
xxxxx = x ↑ 101