Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

126 KAPITEL 5. UNENTSCHEIDBARE PROBLEME
die Berechnung wie M. Das bedeutet, dass zu den Übergangsregeln von M die
folgenden Regeln hinzugefügt werden:
(qn, #) → (qn, sn)
(qn, sn) → (qn−1, L)
(qn−1, #) → (qn−1, sn−1)
(qn−1, sn−1) → (qn−2, L)
.
(q1, #) → (q1, s1)
(q1, s1) → (q0, s1)
(Jetzt steht der Kopf im Zustand q0 am Anfang des Wortes w = s1 . . . sn.)
Offensichtlich kann der Übergang von (M, w) zu Mw durch einen Algorithmus implementiert
werden, d.h., es gibt eine Turingmaschine ˆ M, die auf die Eingabe c(M)w
die Ausgabe c(Mw) berechnet.
Die Annahme, dass Lε rekursiv ist, führt zu einem Widerspruch: daraus würde
folgen, dass Lacc rekursiv ist. In der Tat haben wir, falls Mε ein Algorithmus für Lε
ist, den folgenden Algorithmus für Lacc:
u EINGABE
Hat u die Form
u = c(M)w für
eine TM M?
TURINGMASCHINE Macc
JA
c(Mw) wird
von ˆ M
berechnet.
Akzeptiert
c(Mw)?
Mε Eingabe
NEIN
JA
u nicht akzeptiert u akzeptiert
NEIN u nicht
akzeptiert
Es ist klar, dass Mε die Eingabe u = c(M)w genau dann akzeptiert, wenn Mw
das leere Wort akzeptiert und das geschieht genau dann, wenn M das Wort w
akzeptiert. Das heißt, genau dann, wenn die Eingabe u = c(M)w in Lacc liegt.
Kürzer: L(Macc) = Lacc. Außerdem hält Macc auf jede Eingabe – ein Widerspruch
zu 5.3.1
5.3.3 Ist eine TM ein Algorithmus?
Auch diese Frage, d.h., das Problem, ob eine gegebene TM auf jede Eingabe hält,
ist unentscheidbar. Mit anderen Worten ist die Sprache
nicht rekursiv.
Lalg = {c(M); M ist eine TM, die auf jede Eingabe hält}
Wir merken erst an, dass es für jede Turingmaschine M eine Turingmaschine M ′
gibt, die jede Eingabe so berechnet wie M die Eingabe ε: M ′ löscht erst das Band
und dann simuliert sie M. Offensichtlich kann der Übergang von M zu M ′ durch
einen Algorithmus durchgeführt werden.
Die Annahme, dass Lalg rekursiv ist, führt zu einem Widerspruch: daraus würde
folgen, dass Lε rekursiv ist. In der Tat haben wir den folgenden Algorithmus für
Lε, falls Malg ein Algorithmus für die Sprache Lalg ist: