Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.11. APPROXIMATION VON OPTIMIERUNGSPROBLEMEN 179
Bemerkung 1. Für jedes Minimierungsproblem
(Σ, E, A, L, c)
definieren wir das zugrunde liegende Entscheidungsproblem: gegeben ein Paar
(w, n) mit w ∈ E und n ∈ , gibt es eine Lösung v ∈ A, so dass
(∗) vLw und c(w, v) ≤ n?
Für jedes Minimierungsproblem der Klasse PO gehört das zugrunde liegende Entscheidungsproblem
zur Klasse P. In der Tat können wir für jede Eingabe (w, n)
in polynomialer Zeit die entsprechende minimale Lösung v finden, berechnen wir
in polynomialer Zeit den Wert c(w, v) und schließlich entscheiden wir in der Zeit
O(log n), ob dieser Wert kleiner gleich n ist.
Analog für Maximierungsprobleme: hier wird die Ungleichung von (∗) umgedreht.
Umgekehrt gilt also: falls P = N P, enthält PO kein Optimierungsproblem, dessen
zugrunde liegendes Entscheidungsproblem N P-vollständig ist.
Beispiel 7 (MINIMALES TSP). (siehe 6.6, Beispiel 2 Nr. 4)
Eingabe: w = (di,j)i,j=1,...,n, wobei di,j ∈
Stadt j sind.
Ausgabe: Permutation v = (i1, i2, . . . , in), die die Kosten
minimiert.
die Kosten des Weges von Stadt i zu
c(w, v) = di1,i2 + di2,i3 + · · · + din−1,in + din,i1
Diese Aufgabe gehört nicht zu PO, falls P = N P, denn wir wissen, dass das zugrunde
liegende Entscheidungsproblem N P-vollständig ist.
6.11 Approximation von Optimierungsproblemen
Falls es für ein Optimierungsproblem keinen effizienten Algorithmus gibt, der die
optimale Lösung findet, können wir versuchen, eine suboptimale Lösung effizient zu
konstruieren.
Beispiel 1. MINIMALE KNOTEN-ÜBERDECKUNG
Eingabe: Ungerichteter Graph
Ausgabe: Minimale Menge D an Knoten, so dass jede Kante einen Knoten aus D
enthält.
Es ist bekannt, dass das zugrunde liegende Entscheidungsproblem (ob eine Knotendeckung
mit höchstens n Knoten existiert) N P-vollständig ist. Eine suboptimale
Lösung kann wie folgt beschrieben werden:
Algorithmus für KNOTEN-ÜBERDECKUNG
Eingabe: Ungerichteter Graph G
Ausgabe: Eine Knotenüberdeckung D
1: D := ∅
2: V := die Menge aller Knoten von G
3: E := die Menge aller Kanten von G
4: while E eine Kante (x, y) enthält do
5: D := D ∪ {x, y}