Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

152 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
v0
v1
vi+1
vi
•
p
•
• •
•
• •
a
Wir suchen also i0 = 0, . . .,n−1, so dass r im Sektor (vi0, p, vi0+1) liegt (hier
wird i0 + 1 modulo n berechnet, d.h., (n − 1) + 1 = 0). Wir wenden binäres
Suchen an: falls wir, für jedes i = 0, . . . , n − 1, in konstanter Schrittzahl O(1)
entscheiden, ob i0 kleiner, gleich oder größer als i ist, berechnen wir i0 in
O(log n) Schritten. Falls r rechts von p liegt (rx ≥ px) brauchen wir nur die
Ecken rechts von p betrachten. Sei also vi eine solche Ecke:
vi0
•
r
•
•
•
vi0+1
•
vi
Falls r über L(p, vi) liegt, gilt i0 > i. Falls r unter L(p, vi), aber über L(p, vi+1)
liegt, gilt i0 = i . Und falls r unter L(p, vi+1) liegt, gilt i0 < i. Diese Entscheidung
benötigt eine konstante Zahl von Schritten. Analoges gilt für a links von
p (rx ≤ px).
3. Falls der Sektor (vi, p, vi+1), in dem r liegt, berechnet worden ist, gilt: r liegt
genau dann im Inneren des Polygons P, wenn es im Inneren des Dreiecks
(vi, p, vi+1) liegt. Dies bestimmen wir in konstanter Zahl O(1) von Schritten.
(Sei αx + βy + γ = 0 die Gleichung der Linie L(vi, vi+1). Dann liegt r genau
dann im Inneren des Dreiecks, wenn αx + βy + γ dieselben Zeichen für die
Koordinaten von r und p hat.)
Zeitkomplexität Der Algorithmus wird in
Schritten durchgeführt.
O(1) + O(log n) + O(1) = O(log n)
Beispiel 4 (KONVEXE HÜLLE). Eingabe: Punkte v1, . . . , vn in der Ebene mit
paarweise verschiedenen x-Koordinaten.
Ausgabe: Konvexe Hülle, d.h., das kleinste Polygon, das alle Punkte enthält.
Bemerkung 2. Jede Ecke der konvexen Hülle ist einer der gegebenen Punkte.
Das kann man sich leicht am Gummiband-Modell klarmachen: stellen wir uns ein
elastisches Gummiband vor, das so gestreckt wird, dass es alle gegebenen Punkte
enthält, und anschließend losgelassen wird. Es formt dann die konvexe Hülle.