Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.5. GEOMETRISCHE ALGORITHMEN UND REELLE RAM 151
Falls die Linie L(a, b) die Gleichung y = kx + q hat, liegt r genau dann über dieser
Linie, wenn
ry > krx + q.
Auch diese Entscheidung dauert O(1) Schritte.
Beispiel 3 (DAS INNERE EINES POLYGONS). Eingabe: Ein konvexes Polygon
P und ein Punkt r.
Ausgabe: Entscheidung, ob r im Inneren von P liegt.
Bemerkung 1. Ein Polygon P ist eine Liste von Punkten, die als die Ecken von
P bezeichnet werden. Ein Polygon P = (v0, v1, . . .,vn−1) heißt simple, falls sich die
Strecken L(vi, vi+1) (wobei i+1 modulo n berechnet wird) nur in den ” erwarteten“
Ecken schneiden, d.h., der Durchschnitt von L(vi, vi+1) und L(vj, vj+1) mit i =
j ist vi, falls j + 1 = i, oder vj, falls i + 1 = j, und ansonsten leer. Falls wir
aus der Ebene die Strecken eines simplen Polygons P entfernen, erhalten wir zwei
zusammenhängende Teile, einen gebundenen, der das Innere von P genannt wird,
und einen weiteren, der als das Äußere von P bezeichnet wird.
Ein simples Polygon P heißt konvex, falls sein Inneres jede Strecke enthält, deren
Endpunkte es enthält. Beispiele:
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Konvexes Polygon Nichtkonvexes Polygon Nichtsimples Polygon
Ein konvexes Polygon wird als eine Liste v0, v1, . . . , vn−1 von Punkten angegeben,
wobei wir annehmen, dass die Orientierung im Uhrzeigersinn erfolgt und keine zwei
benachbarten Ecken auf der gleichen Linie liegen:
v0
vn−1
v1
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vn−2
Um unseren Algorithmus zu vereinfachen, nehmen wir zusätzlich an, dass die x-
Koordinaten der Punkte v0, . . . , vn−1 voneinander verschieden sind.
Algorithmus für das INNERE EINES POLYGONS
1. Wir wählen einen Punkt p im Inneren von P.
2. Die Halblinien von p zu den Ecken v0, . . .,vn−1 teilen die Ebene in n Sektoren.
Wir bestimmen den Sektor, in dem sich der gegebene Punkt r befindet, in
O(log n) Schritten wie folgt.
v2