Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.3. BERECHNUNGSPROBLEME UND REDUZIERBARKEIT 145
die Sprache L zu P gehört. Sei M eine Turingmaschine mit polynomialer Zeitkomplexität
q(n), die f berechnet. Wir benutzen die folgende 2-Band Turingmaschine
˜M:
BAND 1: Eingabeband
(Simulation von M)
BAND 2: Simulation von M0
s1 s2 . . . sn
Auf Band 1 wird erst M simuliert, so dass die Eingabe x = s1s2 . . . sn, nachdem
M gehalten hat, das Wort f(x) auf Band 1 ergibt. Das Wort wird jetzt auf Band
2 kopiert und M0 wird simuliert. Falls M0 akzeptiert, akzeptiert auch ˜ M, und
umgekehrt.
Die Maschine ˜ M akzeptiert ein Wort x ∈ Σ ∗ genau dann, wenn M0 das Wort f(x)
akzeptiert, d.h., genau dann, wenn f(x) ∈ L0 gilt. Das ist äquivalent zu x ∈ L. Es
gilt also L = L( ˜ M). Für Eingaben der Länge n hält M nach höchstens q(n) Schritten
und beschriftet höchstens q(n) Felder. In q(n) Schritten kopieren wir das Wort auf
Band 2 und dann hält M0 in höchstens p(q(n)) Schritten. Die Zeitkomplexität von
˜M ist also
2q(n) + p(q(n)).
Dieser Ausdruck ist ein Polynom, also gilt L( ˜ M) ∈ P.
Beispiel 4. 2-ERFÜLLBARKEIT kann in polynomialer Zeit auf STARKE KOM-
PONENTEN (Beispiel 2) reduziert werden; deswegen gehört 2-ERFÜLLBARKEIT
zu P. [Achtung: STARKE KOMPONENTEN ist ein Berechnungsproblem; das zugehörige
Entscheidungsproblem, das in Wirklichkeit Ziel unserer Reduktion ist,
fragt, ob für einen gerichteten Graphen, dessen Knotenmenge V disjunkte Vereinigung
zweier isomorpher Mengen V ′ und V ′′ ist, und für eine Bijektion f : V ′ → V ′′
die Knoten v ′ ∈ V ′ und f(v ′ ) ∈ V ′′ immer in verschiedenen starken Komponenten
liegen.] Wir beschreiben die Reduktion.
Für jede Formel φ in konjunktiver Normalform mit 2 Literalen je Klausel konstruieren
wir einen gerichteten Graphen Gφ wie folgt:
Knoten: für jede Variable x von φ hat Gφ zwei Knoten, markiert mit x und ¬x.
Kanten: für jede Klausel α ∨ β von φ gibt es zwei Kanten in G:
¬α
•
β
• und •
¬β
α
•
Beispiel: für die Formel
haben wir den Graphen
φ = (x ∨ y) ∧ (¬x ∨ z) ∧ (¬z ∨ ¬y)
x y
• • •
z
¬x
•
• •
¬y ¬z
Diese Konstruktion ist eine Reduktion in polynomialer Zeit, denn es gilt