Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

186 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
falls in höchstens 2 i Berechnungsschritten aus der Konfiguration K die Konfiguration
K ′ erreicht werden kann. (Z.B. bedeutet REACH(K, K ′ , 0), dass die Konfiguration
K ′ in höchstens einem Schritt aus Konfiguration K erreicht werden kann –
d.h., entweder K = K ′ oder K ′ ist eine Folgekonfiguration von K.). Es gilt
M akzeptiert s1 . . . sn genau dann,
wenn REACH(K, K ′ , Cp(n)) = true für K = (q0, s1 . . .sn), K ′ = (qF , #)
Es genügt also, einen Algorithmus zu finden, der die Antwort REACH(K, K ′ , i)
mit polynomialer Raumkomplexität für alle Paare K, K ′ von Konfigurationen und
alle Zahlen i = 0, . . .,Cp(n) berechnet. Die Idee ist, dass es für i = 0 nur die
Überprüfung ist, ob K ′ eine der Folgekonfigurationen ist, die in O(1) Zeiteinheiten
berechnet wird, und aus dem Fall REACH(−, −, i) können wir REACH(−, −, i +
1) wie folgt berechnen: Seien K, K ′ Konfigurationen, für die REACH(K, K ′ , i +
1) = true ist. Also gibt es eine Berechnung in 2 i+1 = 2 · 2 i Schritten; sei K die
Konfiguration, die aus K in dieser Berechnung in 2 i Schritten erreicht wird – dann
gilt REACH(K, K, i) = true und REACH(K, K ′ , i) = true. Umgekehrt: falls es
eine Konfiguration K gibt mit
REACH(K, K, i) = true = REACH(K, K ′ , i),
gilt bestimmt REACH(K, K ′ , i + 1).
Die Antwort REACH(K, K ′ , i) kann für i = 0, . . .,Cp(n) also rekursiv durch den
folgenden deterministischen Algorithmus berechnet werden:
i = 0 : Antwort true genau dann, wenn K = K ′ oder K ⊢ K ′ .
i + 1 : Antwort true genau dann, wenn es eine Konfiguration K gibt mit
REACH(K, K, i) ∧ REACH(K, K ′ , i) = true.
Für i = 0 muß dieser Algorithmus nur die zwei Konfigurationen K, K ′ (Wörter
der Länge p(n) + 1) speichern, also ist der Raumbedarf O(p(n)). Für i + 1 müssen
wir, für den rekursiven Ablauf, i speichern, und neben den Eingaben K und K ′
wird die lokale Variable K gespeichert. Dann wird REACH(K, K, i) überprüft.
Falls die Antwort true ist, können wir denselben Raum (!) wieder benutzen, um
REACH(K, K ′ , i) zu überprüfen. Da i ≤ Cp(n) und K, K ′ , K Wörter der Länge
p(n) + 1 sind, wird in einem Schritt der Rekursion Raum O(p(n)) genügen. Die
Rekursion hat Cp(n) Schritte, also brauchen wir insgesamt Raum O(Cp 2 (n)).
Korollar 1. N PT IME ⊆ PSPACE
Beweis. In der Tat sagt uns der Savitch-Satz, dass PSPACE = N PSPACE. Und
N PT IME ⊆ N PSPACE ist analog zur Bemerkung 1 Nr. 2 oben.
Bemerkung 2. Die Klasse PSPACE enthält also alle Probleme, für die es (Zeit-)
effizient entscheidbar ist, ob eine angebotene Lösung wirklich das Problem löst. Z.
B. TSP, 3-FÄRBBARKEIT usw. Es ist nicht bekannt, ob N PT IME = PSPACE
gilt.
Wir zeigen jetzt ein interessantes Beispiel eines Prolems, für das nicht klar ist, ob es
zu N PT IME gehört, da es keinen vernünftigen Begriff von ” angebotener Lösung“
gibt, das aber zu PSPACE gehört.
Beispiel 1 (QUANTIFIZIERTE BOOLESCHE FORMELN).
Eingabe: Eine quantifizierte Boolesche Formel φ ohne freie Variablen.