Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

4.5. REKURSIVE FUNKTIONEN 111
π k i (n1, n2, . . .,nk) = ni.
Für k = 2 gibt es z.B. zwei Projektionen
π2 1 (n, m) = n und π2 2 (n, m) = m.
Für k = 1 ist π1 1(n) = n die Identitätsfunktion.
Definition. Die folgenden Funktionen heißen Basisfunktionen:
1. die Nachfolgerfunktion succ (mit succ(n) = n + 1)
2. die Nullfunktion K0 (mit dem einzigen Wert 0) und
3. die Projektionen π k i
für alle 1 ≤ i ≤ k, k = 1, 2, 3, . . ..
Aus den Basisfunktionen können weitere Funktionen mit Hilfe der Verknüpfung
definiert werden:
Beispiel 1. Konstante Funktionen. Die konstante Funktion K1 entspricht der Verknüpfung
von K0 mit succ:
K1 = succ(K0).
Analog
K2 = succ(K1) = succ(succ(K0))
usw.
Beispiel 2. Die Funktion f(n) = n + 2 für alle n ∈
succ mit sich selbst:
f(n) = succ(succ(n)).
ist die Verknüpfung von
Beispiel 3. Die Funktion g(n, m) = m+2 (für alle n, m ∈ ) ist eine Verknüpfung
der zweiten Projektion π2 2 (n, m) (die n wegfallen lässt) und der Funktion f aus
Beispiel 2:
g(n, m) = f(π2 2(n, m)) = succ(succ(π2 2(n, m)).
Bemerkung 1. 1. Im Allgemeinen definieren wir die Verknüpfung mehrstelliger
Funktionen wie üblich: falls
f : k → (k ≥ 1)
eine k-stellige Funktion ist und
g1, . . .,gk : m → (m ≥ 0)
k m-stellige Funktionen sind, ist die Verknüpfung von f mit g1, . . . , gk die
m-stellige Funktion
h :
die durch
m → ,
h(n1, . . . , nm) = f(g1(n1, . . . , nm), g2(n1, . . . , nm), . . .,gk(n1, . . . , nm))
für alle (n1, . . .,nm) auf m definiert wird.
2. Neben der Verknüpfung wollen wir die sogenannte primitive Rekursion verwenden,
um neue Funktionen zu erzeugen. Zum Beispiel lässt sich die Fakultätsfunktion
f(n) = n! mit Hilfe primitiver Rekursion durch die Multiplikation
h(n, m) = n ∗ m und den Initialwert 1 = f(0) wie folgt definieren:
f(0) = 1;
f(n + 1) = h(n, f(n)) = n ∗ f(n).
Die Definition einer einstelligen Funktion f(n) durch primitive Rekursion hat
zwei Bestandteile: eine Konstante k und eine zweistellige Funktion h(n, m).
Dann definiert man
f(0) = k
und
f(n + 1) = h(n, f(n)).