Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

180 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
6: E := E − {v : v eine Kante mit Endknoten x oder y}
7: od
Korrektheit: Wir konstruieren hier eine Menge D von Knoten mit der Eigenschaft,
dass jede im Schritt 6 entfernte Kante einen Endknoten in D hat. Da am Ende alle
Kanten entfernt worden sind, ist D eine Knotenüberdeckung.
Zeitkomplexität ist linear, denn jede Kante des Graphen wird von dem Algorithmus
nur einmal besucht.
Beziehung zum Optimum: Bezeichnen wir für jeden Graphen G mit opt(G) die minimale
Größe einer Knoten-Überdeckung und mit c(G) die Größe der Überdeckung,
die unser Algorithmus konstruiert. Es gilt
c(G) ≤ 2opt(G).
In der Tat hat der Algorithmus die folgende Eigenschaft: D wird mittels paarweise
disjunkter Kanten des Graphen G konstruiert. Jede Überdeckung D0 muß wenigsten
einen Endknoten von jeder dieser Kanten enthalten, also muß D0 mindestens
halbsoviele Elemente wie D haben.
Definition. Sei (Σ, E, A, L, c) ein Optimierungsproblem. Ein ε-approximierender
Algorithmus (ε ≥ 0 eine reelle Zahl) ist ein Algorithmus der Klasse P, der für jede
Eingabe w ∈ E eine Ausgabe v ∈ A mit vLw berechnet, so dass der relative Fehler
von c(w, v) im Vergleich zum optimalen Wert opt(w) kleiner gleich ε ist; d.h., es gilt
c(w, v) − opt(w)
opt(w)
Beispiel 2. Für MINIMALE KNOTEN-ÜBERDECKUNG haben wir einen 1approximierenden
Algorithmus gefunden: es gilt c(w, v) ≤ 2opt(v), also
c(w, v) − opt(w)
opt(w)
≤ ε.
≤ 1.
Dieser Algorithmus ist nicht ε-approximierend für ε < 1, denn schon für den Graphen
mit zwei Knoten und einer Kante gilt opt = 1, c(w, v) = 2.
Beispiel 3 (SIT (Scheduling Independent Tasks)). Es sollen Aufgaben W1, . . . , Wn
mit gegebener zeitlicher Dauer t1, . . .,tn durch k Maschinen bewältigt werden. Wir
nehmen an, dass jede Maschine unabhängig von den anderen jede Aufgabe bearbeiten
kann. Unsere Ziel ist es, einen Plan (schedule) zu erstellen, d.h. jeder Arbeit Wi
(i = 1, . . .,n) eine Maschine S(i) = 1, . . .,k zuzuordnen, so dass der Zeitbedarf T
zur Erledigung aller Aufgaben minimal ist. Die Laufzeit der Maschine m(= 1, . . .,k)
beträgt ti, wobei über alle i mit S(i) = m summiert wird. Der Zeitbedarf ist somit
T = max{
S(i)=1
ti, . . . ,
S(i)=k
Da die Zahl k der Maschinen konstant ist, bezeichnen wir das Problem als SIT(k).
Wir haben also:
Eingabe von SIT(k): Zahlen t1, . . . , tn.
Ausgabe von SIT(k): eine Funktion
S : {1, . . .,n} → {1, . . .,k},
ti}.