Solare und terrestrische Strahlungswechselwirkung zwischen ... - AWI

In Summenschreibweise setzt sich die Matrix D aus den Spaltenvektoren ~ui und ~vi sowie
den Singulärwerten si wie folgt zusammen:
Dm n =
D =
min(m;n) P
k=1
min(m;n) X
sk
k=1
~uk
m 1
sk ~uk ~v T k (E.3)
~v T k;1 n
Jeder Summand wird im folgenden als k,te Ordnung bezeichnet. Eine wichtige Eigenschaft
der Spaltenvektoren ~ui und ~vi ist, daß für die Summe bis m 0 < min(m; n) die Bedingung
jj D , D0 jj = minimal (E.4a)
fur
m0 X
D0 = sk ~uk ~v
k=1
T k (E.4b)
m n m 1 1 n
(E.4c)
erfüllt ist. Der Betrag der Differenz zwischen der Datenmatrix D und der Matrix D 0
– berechnet aus den ersten m 0 Summanden – ist minimal.
Die Entwicklungskoeffizienten sind die Spaltenvektoren ~ui für jede Ordnung i der Matrix
U. Die Singulärwerte si zeigen die relative Bedeutung dieser Ordnungen untereinander.
Die bedeutendsten Variationen der Flußdichteprofile sind eine Folge der unterschiedlichen
Randbedingungen und der strahlungsrelevanten Wolkeneigenschaften. Daher ist zu folgern,
daß die Spaltenvektoren ~ui mit den Wolkeneigenschaften aus Tabelle 6.2 korreliert
sein können. Also ist es sinnvoll, eine multidimensionale lineare Regression zwischen den
Entwicklungskoeffizienten ~ui und der Eigenschaftsmatrix M (makroskopischen und mikroskopischen
Wolkeneigenschaften aus Tabelle 6.2) durchzuführen. Die Größen aus Tabelle
6.2 werden so transformiert, daß ihr Mittelwert verschwindet und die Standardabweichung
gleich Eins ist. Zusätzlich wird der Eigenschaftsmatrix ein Vektor mit 1-Elementen angehängt.
Damit wird das mittlere Profil (der Achsenabschnitt der Regression) mit der
multidimensionalen linearen Regression bestimmt.
E.2 Multidimensionale lineare Regression
Es wird eine Lösungsmatrix X gesucht, welche linear multipliziert mit der Eigenschaftsmatrix
M die Matrix der Entwicklungskoeffizienten U mit einer geringen Abweichung (im